洛必达法则

洛必达（L'Hospital）法则 是一种利用导数来计算具有不定型（$\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型）极限的方法。

定理 1

设：

1. 当 $x \to a$ 时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于零；
2. 当点 $a$ 的某去心邻域内，$f'(x)$ 及 $F'(x)$ 都存在且 $F'(x) \not = 0$；
3. $\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在（或为无穷大）；

则：

$$\Huge \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)}$$

这就是说：

• 当 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在时，$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)}$ 也存在且等于 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)}$；
• 当 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{F'(x)}$ 为无穷大时，$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)}$ 也是无穷大。
• 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为 洛必达法则

定理 2

设：

1. 当 $x \to \infty$ 时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于零；
2. 当 $|x| > N$ 时，$f'(x)$ 及 $F'(x)$ 都存在，且 $F'(x) \not = 0$；
3. $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在（或为无穷大）；

则：

$$\Huge \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{F'(x)}$$

参考链接

• 洛必达法则 - 维基百科，自由的百科全书
• 07 - 极限 - 【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集】