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泰勒公式

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)2+Rn(x)\Large f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!} (x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)} (x_0)}{n!} (x - x_0)^2 + R_n(x)

泰勒中值定理 1​

如果函数 f(x)f(x) 在 x0x_0 处具有 nn 阶导数，那么存在 x0x_0 的一个邻域，对于该邻域内的任一 xx，有 泰勒公式 其中：

Rn(x)=o((x−x0)n)\Large R_n(x) = o((x-x_0)^n)

泰勒中值定理 2​

如果函数 f(x)f(x) 在 x0x_0 的某个邻域 U(x0)U(x_0) 内具有 (n+1)(n+1) 阶导数，那么对任一 x∈U(x0)x \in U(x_0)，有 泰勒公式 其中：

Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1\Large R_n(x) = \frac{f^{(n + 1)} (\xi)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1}

这里 ξ\xi 是 x0x_0 与 xx 之间的某个值。

参考链接​