微分中值定理

罗尔定理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某领域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对任意的 $x \in U(x_0)$ ，有：

\Large f(x) \le f(x_0) \enspace \text{或} \enspace f(x) \ge f(x_0)

那么 $\Large f'(x_0) = 0$ 。

如果函数 $f(x)$ 满足：

那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi (a < \xi < b)$ ，使得 $f'(\xi) = 0$

如果函数 $f(x)$ 满足：

那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi (a < \xi < b)$ ，使等式：

\Large f(b) - f(a) = f'(\xi) (b - a)

成立。

如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续， $I$ 内可导且 导数恒为零，那么 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是一个常数。

如果函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 满足：

那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使等式：

\Large \frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}

成立。