9.4 多面体与旋转体

9.4.1 棱柱

1.多面形的概念

由若干个多边形围成的封闭的空间图形， 叫做 多面体. 自然界许多物体都呈现多面体的形状围成多面体的各个多边形叫做 多面体的面， 两个相邻面的公共边叫做 多面体的棱， 棱和棱的公共点叫做 多面体的顶点， 连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做 多面体的对角线.

一个多面体至少有四个面， 多面体依照它的面数分别叫做 四面体、五面体、六面体等.

把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面，都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做 凸多面体.

2.棱柱和它的性质

一个多面体，如果有两个面互相平行，而其余每相邻的两个面的交线都互相平行，这样的多面体叫做 棱柱.

棱柱的两个平行的面叫做 棱柱的底面. 其余各面叫做 棱柱的侧面， 两侧面的公共边叫做 棱柱的侧棱. 两个底面所在平面的公垂线段或它的长度叫做 棱柱的高.

棱柱具有下列性质：

(1) 棱柱的每个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的每个侧面都是矩形，正棱形的各个侧面都是全等的矩形.

(2) 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.

(3) 过不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.

3.平面六边形和长方形

底面是平行四边形的四棱柱叫做 平行六面形.

侧棱于底面垂直的平行六面体叫做 直平行六面体.

底面是矩形的直平行六面体叫做 长方体.

棱长都相等的长方体叫做 正方体.

平行六面体的对角线 (不包括对角线) 交于一点，并且在交点处互相平分.

长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

9.4.2 棱锥

如果一个多面体有一个面是多边形， 其余各面是有一个公共的顶点的三角形， 那么这个多面性就叫做 棱锥.

在棱锥中有公共顶点 $S$ 的各三角形， 叫做 棱锥的侧面; 多边形面叫做 棱锥的底面和底, 两个相邻侧面的公共边叫做 棱锥的侧棱, 各侧面的公共顶点 $S,$ 叫做棱锥的顶点， 有顶点所引的底面所在平面的垂线段 $SO,$ 叫做 棱锥的高. (垂线段的长也称为高)

棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形...我们把这样的棱锥分别叫做 三棱锥、四棱锥、五棱锥

棱锥的性质：

如果棱锥被平行于底面的平面所截，则所得的截面与底面相似， 截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离的平方和棱锥高平方的比.

如果一个棱锥的底面是正多边形， 并且顶点在底面内的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做 正棱锥. 正棱锥有下面的性质：

(1) 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.

各等腰三角形底边上的高相等， 它叫做正棱锥的斜高.

(2) 正棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形； 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影也组成一个直角三角形.

9.4.3 直棱柱和正棱柱的侧面积

把棱柱、棱锥的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上所得的图形，叫做它们的 侧面展开图， 侧面展开图的面积就是它们的 侧面积.

直棱柱侧面面积计算公式

$$\Large S_{直棱柱侧面积} = Ch$$

即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.

正 $n$ 棱锥的侧面积的计算公式

$$\Large S_{正棱锥侧} = \frac{1}{2} nah' = \frac{1}{2} Ch'$$

即 正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半.

棱柱、棱锥的全面积等于侧面积与底面积的和.

9.4.4 圆柱、圆锥

1. 圆柱、圆锥

分别一以矩形的一边、直角三角形的一直角边为旋转轴旋转一周， 其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做 圆柱、圆锥. 旋转轴叫做它的 轴, 在轴上的这条边 (或它的长度) 叫做它的 高, 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做它的 底面, 不垂直于轴的边旋面而成的曲面叫做 侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫做侧面的母线.

圆柱、圆锥有下面的性质：

(1) 平行于底面的截面是圆；

(2) 过轴的截面 (轴截面) 分别是矩形、等腰三角形.

2. 圆柱、圆锥直观图

圆柱、圆锥的底面都是圆. 画带有圆的几何体的直观图, 一般不用斜二测画法, 而用 正等测画法.

3. 圆柱、圆锥的侧面积

圆柱的侧面积计算公式

$$\Large S_{圆柱侧} = Cl = 2πrl$$

即 圆柱的侧面积等于它的底面的周长与母线的乘积.

圆锥的侧面积计算公式

$$\Large S_{圆锥侧} = \frac{1}{2} Cl = πrl$$

即 圆锥的侧面积等于它的底面的周长与母线长乘积的一半.

由侧面积和底乘积就可计算它们的全面积

圆柱、圆锥的全面积, 分别等于它们的侧面积与底面积的和.

9.4.5 球

1. 球的概念和性质

半圆以它的直径为旋转轴, 旋转一周所成的曲面叫做 球面. 球面所围成的几何体叫做 球体. 简称 球. 半圆的圆心叫做 球心. 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的 半径. 连接球面上两点并且通过球心的线段叫做 球的直径.

球面可以看成与定点 (球心) 距离等于定长 (半径) 的点构成的集合 (轨迹).

球面被经过球心的平面截得的圆叫做 大圆, 被不经过球心的平面截得的圆叫做 小圆.

2. 球的表面积

球的表面积计算公式

$$\Large S = 4πR^2$$

即球面面积等于大圆面积的四倍.

9.4.6 多面体与旋转体的体积

1. 长方体的体积和祖暅原理

几何体占有空间部分的大小叫做几何体的 体积.

通常取棱长为单位长度 (例如1cm\1m) 的正方体体积作为 体积单位.

我们知道, 长方体的体积等于它的长、宽、高的积. 如果长、宽、高分别用 $a, b, c$ 表示, 则

$$\Large V_{长方体} = abc$$

长方体的体积等于它的底面积 $S$ 和高 $h$ 的积. 即

$$\Large V_{长方体} = Sh$$

正方体的体积等于它的棱长 $a$ 的立方. 即

$$\Large V_{正方体} = a^3$$

$\Large 祖暅定理$ 夹在两个平行平面间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截, 如果截得的两个截面的面积相等, 那么这两个几何体的体积相等.

2. 棱柱、圆柱的体积

利用祖暅原理可以证明：

$\Large 定理$ 柱体 (棱柱、圆柱) 的体积等于它的底面面积 $S$ 和高 $h$ 的积. 即

$$\Large V_{柱体} = Sh.$$

$\Large 推论$ 底面半径是 $r$ , 高是 $h$ 的圆柱体的体积是

$$\Large V_{圆柱} = πr^2h$$

3. 棱锥、圆锥的体积

$\Large 定理$ 等底面积等高的两个锥体的体积相等.

由此，可以得到棱锥的体积公式

$\Large 定理$ 如果一个锥体 (棱锥、圆锥) 的底面积是 $S$ , 高是 $h$ ,那么它的体积是

$$\Large V_{锥体} = \frac{1}{3}Sh$$

$\Large 推论$ **如果圆锥的底面半径是 $r$ , 高是 $h$ ,那么它的体积是

$$\Large V_{圆锥} = \frac{1}{3}πr^2h$$

4. 球的体积

$\Large 定理$ 如果球的半径是 $R$ , 那么它的体积是

$$\Large V_{球} = \frac{4}{3}πR^3$$