4.1 指数与指数函数

4.1.1 有理指数

整数指数

$$\Huge a^n \quad (n \in \mathbf{N_+})$$

上式叫做 $a$ 的 $n$ 次幂； $a$ 叫做幂的 底数； $n$ 叫做幂的 指数；

并且规定： $\LARGE a^1 = a$。

上式中，$n$ 必须为正整数，所以这样的幂叫做 正整数指数幂。

正整数幂运算法则

$$\LARGE \begin{align*} &(1) \quad & a^m \sdot a^n &= a^{m + n} \\ &(2) \quad & (a^m)^n &= a^{mn} \\ &(3) \quad & \frac{a^m}{a^n} &= a^{m - n} \quad (m > n, a \not = 0)\\ &(4) \quad & (ab)^m &= a^m b^m \end{align*}$$

整数指数幂运算法则

在正整数幂运算法则 $(3)$ 中，作了 $m > n$ 的限制。 如果取消这种限制，则 正整指数幂 可以推广到 整数指数幂。

例如，当 $a \not = 0$ 时：

$$\large \frac{a^3}{a^3} = a^{3 - 3} = a^0 \qquad \frac{a^3}{a^5} = a^{3 - 5} = a^{-2}$$

这些结果不能用 正整指数幂 的定义来解释。但已知：

$$\large \frac{a^3}{a^3} = 1, \quad \frac{a^3}{a^5} = \frac{1}{a^2}$$

如果现在规定：

$$\large a^0 = 1, \quad a^{-2} = \frac{1}{a^2}$$

则上述运算就合理了。于是可以规定：

$$\LARGE \begin{align*} a^0 &= 1 \quad (a \not = 0) \\ a^{-n} &= \frac{1}{a^n} \quad (a \not = 0, n \in \mathbf{N_+}) \end{align*}$$

由上面规定的 零指数幂 和 负整指数幂 的意义，就把 正整指数幂 推广到 整数指数幂， 并且 正整指数幂 的运算法则对 整数指数幂 仍然成立。例如：

$$\large 8^0 = 1, \qquad (-0.8)^0 = 1, \qquad (a - b)^0 = 1 \quad (a \not = b) \\ 10^{-3} = \frac{1}{10^3} = 0.001 \\ (- \frac{1}{2})^{-5} = \frac{1}{(- \frac{1}{2})^5} = \frac{1}{- \frac{1}{32}} = -32 \\ (2x)^{-3} = 2^{-3} x^{-3} = \frac{1}{8x^3} \quad (x \not = 0) \\ (\frac{x^3}{r^2})^{-2} = \frac{x^{-6}}{r^{-4}} = \frac{r^4}{x^6} \\ 0.0001 = 10^{-4} \\ \frac{a^2}{b^2} = a^2 b^{-2} c^{-1}$$

分数指数

次方根式运算法则

$$\Huge x^n = a \quad (n > 1, n \in \mathbf{N})$$

上式中 $x$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次方根。

在实数范围内，正数的偶次方根有两个，它们互为 相反数，分别表示为 $\sqrt[n]{a}$ 和 $- \sqrt[n]{a}$（$n$ 为偶数）；

负数的偶次方根没有意义。 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为 $\sqrt[n]{a}$（$n$ 为奇数）。

正数 $a$ 的正 $n$ 次方根叫做 $a$ 的 $n$ 次算数根。

当 $\sqrt[n]{a}$ 有意义的时候，叫做 根式，$n$ 叫做 根指数。

根据 $n$ 次方根的定义，根式具有性质：

1. $$\Large (\sqrt[n]{a})^n = a$$

2. • 当 $n$ 为奇数时：

     $$\Large \sqrt[n]{n} = a$$

   • 当 $n$ 为偶数时：

     $$\Large \sqrt[n]{n} = |a| = \begin{cases} a \quad (a \ge 0) \\ -a \quad (a < 0) \end{cases}$$

正分数指数幂运算法则

还可以把 整数指数幂 推广到 正分数指数幂。 在上述性质 2 中，若 幂指数 取正分数，例如：

$$\Large \begin{align*} &(1) \qquad (a^ \frac{1}{3})^3 = a^{\frac{1}{3} \sdot 3} = a \\ &(2) \qquad (a^ \frac{2}{3})^3 = a^{\frac{2}{3} \sdot 3} = a^2 \end{align*}$$

$(1)(2)$ 式的运算虽然无法用 整数指数幂 的定义来解释，但是 $(1)$ 式含义是 $a^ \frac{1}{3}$ 连乘 $3$ 次得到 $a$，所以 $a^ \frac{1}{3}$ 可以看作是 $a$ 的 3 次方根； $(2)$ 式含义是 $a^ \frac{2}{3}$ 连乘 $3$ 次得到 $a^2$，所以 $a^ \frac{2}{3}$ 可以看作是 $a^2$ 的 3 次方根；所以规定

$$\Large a^ \frac{1}{3} = \sqrt[3]{a}, \qquad a^ \frac{2}{3} = \sqrt[3]{a^2}$$

是合理的。这样 分数指数幂 运算就能像 整数指数幂 那样运算了。

有理数指数幂运算法则

约定底数 $a > 0$。于是当 $a > 0$ 时，定义：

$$\Large a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \\ a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \quad (n, m \in \mathbf{N_+} , \text{且} \frac{m}{n} \text{为既约分数})$$

至此，已把 整数指数幂 推广到 有理数指数幂。

实数指数幂运算法则

有理数指数幂 还可以推广到 实数指数幂：

在 $a^ \alpha \quad (a > 0)$ 中，$a$ 可以为任意实数。 实数指数幂有如下三条运算法则：

$$\Huge a^ \alpha b^ \beta = a^{\alpha + \beta} \\ (a^ \alpha)^ \beta = a^ {\alpha \beta} \\ (ab)^ \alpha = a^ \alpha b^ \alpha$$

其中 $a > 0$、$b > 0$，$\alpha$、$\beta$ 为任意实数。

4.1.2 幂函数举例

$$\Huge y = x^ \alpha \quad (\alpha \in \mathbf{R})$$

形如上式的函数叫做 幂函数。

例 1：写出下列函数的定义域：

$$\LARGE y = x^3$$

函数 $y = x^3$ 的定义域为 $\mathbf{R}$。

---

$$\LARGE y = x^{\frac{1}{2}}$$

函数 $y = x^{\frac{1}{2}}$ ，即 $y = \sqrt{x}$ ，定义域为 $[0, + \infty)$ 。

---

$$\LARGE y = x^{-2}$$

函数 $y = x^{-2}$ ，即 $y = \frac{1}{x^2}$ ，定义域为 $\large (- \infty , 0) \cup (0, + \infty )$

---

$$\LARGE y = x^{- \frac{3}{2} }$$

函数 $y = x^{- \frac{3}{2} }$ ，即 $y = \frac{1}{\sqrt{x^3}}$ ， 其定义域为 $0, + \infty$ 。

例 2：作出下列函数的图像

1. $\LARGE y = x$
2. $\LARGE y = x^{\frac{1}{2}}$
3. $\LARGE y = x^2$
4. $\LARGE y = x^{-1}$

使用列表法

$x$	$y = x$	$y = x^ \frac{1}{2}$	$y = x^2$	$y = x^{-1}$
...	...	...	...	...
-3	-3	/	9	$- \frac{1}{3}$
-2	-2	/	4	$- \frac{1}{2}$
-1	-1	/	1	-1
0	0	0	0	/
1	1	1	1	1
2	2	1.41	4	$\frac{1}{2}$
3	3	1.73	9	$\frac{1}{3}$
...	...	...	...	...

使用图像法

从上例可以看到 幂函数 随着 $\alpha$ 的取值不同，它们的性质和图像也不尽相同， 但也有一些共性，例如，所有的幂函数都通过点 $(1, 1)$ 等。

4.1.3 指数函数

$$\Huge y = a^x \quad (a > 0, a \not = 1, x \in \mathbf{R})$$

上式叫做 指数函数。

现在来研究指数函数的图像和性质，先画出一些指数函数的图像。

$$y = 2^x \qquad y = (\frac{1}{2}) ^x$$

使用列表法列出 $x, y$ 的对应值

x	$y = 2^x$	$y = (\frac{1}{2})^x$
-3	$\frac{1}{8}$	8
-2	$\frac{1}{4}$	4
-1	$\frac{1}{2}$	2
0	1	1
1	2	$\frac{1}{2}$
2	4	$\frac{1}{4}$
3	8	$\frac{1}{8}$

使用描点法画出图像

分析

从这个函数的对应值表和图像，可看到 $y = 2^x$ 在 $(- \infty , + \infty)$ 上是增函数， $y = (\frac{1}{2})^x$ 在 $(- \infty , + \infty)$ 上是减函数。 这两个函数的任意函数值 $y$ 都大于 0，且它们的图像都通过点 $(0, 1)$。