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4.2 对数与对数函数

4.2.1 对数​

对数的概念​

在 指数函数 y=ax(a>0,且a≠1)y = a^x \quad (a > 0, \text{且} a \not = 1) 中， 对于 xx 在实数集 R\mathbf{R} 内的每一个值，yy 在正实数集内都有唯一确定的值和它对应；

反之，对于 yy 在实数集内的每一个确定的值 NN ， xx 在 R\mathbf{R} 内都有唯一确定的值 bb 和它对应。

ab=N(a>0,且a≠1,N>0)\Huge a^b = N \quad (a > 0, \text{且} a \not = 1, N > 0)

上式称为幂指数 bb 是以 aa 为底的 对数。

常用符号 log⁡\LARGE \log （拉丁文 logarithm 的缩写）表示对数。

以 aa 为底 NN 的对数 bb ，记作：

b=log⁡aN(a>0,且a≠1)\Huge b = \log _a N \quad (a > 0, \text{且} a \not = 1)

上式中 log⁡\log 右下角的数 aa 叫做 底数， NN 叫做 真数，bb 是以 aa 为底 NN 的 对数。

实质上，对数式 不过是 指数式 的另一种表达形式而已。 例如，34=81\Large 3^4 = 81 与 4=log⁡381\Large 4 = \log _3 81 表达的是同一关系。

对数恒等式​

因为 ab=N\Large a^b = N ，根据对数的定义 b=log⁡aN\Large b = \log _a N ， 于是得到下面的对数恒等式：

alog⁡aN=N\Huge a^{\log _a N} = N

例如：

2log⁡232=3210log⁡10100=100\large 2^{\log _2 32} = 32 \qquad 10^{\log _{10} 100} = 100

对数的性质​

根据对数的定义，在 a>0a > 0 且 a≠1a \not = 1 时，对数具有以下性质：

  1. log⁡aa=1\large \log _a a = 1 ，即底的对数等于 1；
  2. log⁡a1=0\large \log _a 1 = 0 ，即 1 的对数为 0;
  3. 0 和负数没有对数；

常用对数​

底是 10 的对数叫做 常用对数。

为了简便，通常把底 10 略去不写，并把“ log⁡\large \log ”写成“ lg⁡\large \lg ”， 即把 log⁡10N\large \log _{10} N 记作 lg⁡N\large \lg N 。

例如，100 的常用对数可以记为：lg⁡100\lg 100

4.2.2 积、商、幂的对数运算法则​

正因数的积的对数等于各因数对数的和​

log⁡a(MN)=log⁡aM+logaN\Huge \log _a (MN) = \log _a M + log _a N

因为同底数的幂相乘，不论有多少因数，都是把指数相加， 所以这个运算法则可推广到若干个正因数的积：

log⁡a(N1N2⋯Nk)=log⁡aN1+log⁡aN2+⋯+log⁡aNk\large \log _a (N_1 N_2 \cdots N_k) = \log _a N_1 + \log _a N_2 + \cdots + \log _a N_k

两个正数商的对数等于被除数的对数减去除数的对数​

log⁡aMN=log⁡aM−log⁡aN\Huge \log _a \frac{M}{N} = \log _a M - \log _a N

正数幂的对数等于幂的指数乘幂的对数​

log⁡aMb=blog⁡aM\Huge \log _a M^b = b \log _a M

4.2.3 换底公式与自然对数​

换底公式​

log⁡bN=log⁡aNlog⁡ab\Huge \log _b N = \frac{\log _a N}{\log _a b}

换底公式的解释​

利用 常用对数 ，可以求得任意一个正数的以 10 为底的对数。

现在举例说明，如何根据对数的性质，由以 10 为底的对数，求以其他正数 a(a≠1)\large a (a \not = 1) 为底的对数。

求 log⁡35\LARGE \log _3 5 （精确到 0.001\large 0.001）：

  • 设 log⁡35=x\log _3 5 = x ，写成指数形式得 3x=53^x = 5
  • 两边取常用对数得 lg⁡3x=lg⁡5\lg 3^x = \lg 5 ，即 xlg⁡3=lg⁡5x \lg 3 = \lg 5
  • 所以
    x=lg⁡5lg⁡3≈0.69900.4771≈1.465\large x = \frac{\lg 5}{\lg 3} \approx \frac{0.6990}{0.4771} \approx 1.465

    计算过程中的近似数的精确度一般比结果要求的多取一位小数。

  • 即 log⁡35≈1.465\Large \log _3 5 \approx 1.465

换底公式的证明​

设 log⁡bN=x\log _b N = x 则 bx=Nb^x = N 。

两边取以 a(a>0,且a≠1)a (a > 0, \text{且} a \not = 1) 为底的对数，得：

∵xlog⁡aN=log⁡aN∴x=log⁡aNlog⁡ab∴log⁡bN=log⁡aNlog⁡ab\large \begin{align*} & \because \quad & x \log _a N &= \log _a N \\ & \therefore \quad & x &= \frac{\log _a N}{\log _a b} \\ & \therefore \quad & \log _b N &= \frac{\log _a N}{\log _a b} \end{align*}

自然对数​

在科学技术中，常常使用以无理数 （自然常数） e=2.71828⋯e = 2.718 28 \cdots 为底的对数。

以 ee 为底的对数叫做 自然对数。

自然常数e这个数，怎么就自然了？_哔哩哔哩_bilibili

log⁡eN通常记作：ln⁡N\Huge \log _e N \text{\large 通常记作：} \Huge \ln N

自然对数与常用对数的关系​

根据对数的换底公式，可得自然对数与常用对数的关系：

ln⁡N=lg⁡Nlg⁡e≈lg⁡N0.4343ln⁡N≈2.3026lg⁡N\Huge \begin{align*} \ln N &= \frac{\lg N}{\lg e} \approx \frac{\lg N}{0.4343} \\ \ln N & \approx 2.3026 \lg N \end{align*}

实际上，用计算器可直接求自然对数。 例如，求 ln⁡34\ln 34 （精确到 0.0001），可用计算器计算：

按键 MODEMODEMODE 141 \quad 4

按键显示
ln⁡\ln 34 ==3.5264

所以， ln⁡34≈3.5264\ln 34 \approx 3.5264

4.2.4 对数函数​

y=log⁡ax(a>0,a≠1,x>0)\Huge y = \log _a x (a > 0, a \not = 1, x > 0)

上式叫做 对数函数。

分析对数函数图像​

做出 y=log⁡2xy=log⁡12x\Large y = \log _2 x \quad y = \log _ \frac{1}{2} x 的函数图像：

首先做 x,yx, y 值的对应值表。 这个表简便的做法是把 4.1.3 节的两个指数函数

y=2xy=(12)xy = 2^x \qquad y = (\frac{1}{2}) ^x

的数值表里 xx 和 yy 的数值对换，就可得到下面的两个数值表， 并在同一坐标系里，用描点发画出图像：

从这两个函数的的对应值表和图像可看到， y=log⁡2xy = \log _2 x 在区间 (0,−∞)(0, - \infty) 上是增函数， 而 y=log12xy = log _ \frac{1}{2} x 在 (0,+∞)(0, + \infty) 上是减函数。

这两个函数定义域相同，并且它们的图像都通过点 (1,0)(1, 0) 。

对数函数的性质​

对数函数 y=log⁡ax(a>0,a≠1)\Large y = \log _a x (a > 0, a \not = 1) 具有下列性质：

  1. 定义域是正实数集。值域是 R\mathbf{R}。
  2. 当 x=1x = 1 时， y=0y = 0 ，即函数的图像都通过点 (1,0)(1, 0) 。
  3. 在其定义域内，当 a>1a > 1 是增函数，当 0<a<10 < a < 1 是减函数。