3.2 一次函数与二次函数

3.2.1 二次、二次问题

用长为 20m 的绳子围成一个矩形，写出两边长之间的函数关系。 并求出两边长各是多少时，围成的矩形面积最大。

使用列表法

由已知条件，可列出函数表如下：

一边长$/m$	另一边长$/m$	矩形面积 $/m^2$
0	10	0
1	9	9
2	8	16
3	7	21
4	6	24
5	5	25
6	4	24
7	3	21
8	2	16
9	1	9
10	0	0

使用图像法

由上表可看到，矩形的另一边长和矩形面积都是矩形一边长的函数。 用 $x$ 表示自变量， $y$ 表示对应的函数值。 根据函数表，画出这两个函数的图象：

从函数表和图 $f$ 中可以看到，矩形的一边越长，另一边越短， 从函数表和图 $g$ 中可以看到，当矩形的一边小于 5m 时，函数值随边长增加而增加， 当矩形的一边长为 5m 时，矩形获得最大值。 然后函数值又随着边长的增加而减小。

使用公式法

设一边长为 $x$ ，另一边长为 $y$ ，依题意，函数关系可用解析式表述为：

$$\Huge f = 10 - x \quad (0 \le x \le 10)$$

进而，可得矩形面积为：

$$\Huge g = x(10 - x)$$

解二次函数一般使用 配方法（Completing the square） ：

对上面得到的解析式进行如下变形：

$$\Large \begin{align*} y = g(x) &= x(10 - x) = -x^2 + 10x \\ &= -[(x-5)^2 - 25] \\ &= -(x - 5)^2 + 25 \end{align*}$$

由上式，就可以得到当 $\Large x = 5$ 时，函数取得最大值 $\Large 25$ 。

上面变形的方法就是配方法。 在解二次方程时已用到它。

配方法对研究所有的二次函数都适用。 它是解决二次函数问题的通用方法。

3.2.2 一次函数模型

$$\Huge y = kx + b \quad (b \not = 0, x \in \mathbf{R} )$$

上式叫做 一次函数。

已知一次函数的图像为一条直线。 接下来对一次函数的图像再作进一步的分析。

正比例函数

在上式中，令 $b = 0$，则函数：

$$\Large y = kx$$

上式叫做 正比例函数。

先尝试做出函数图像来看看是什么形状：

1. 在上式中，令 $x = 0$ ，则 $y = 0$ 。所以上式的图像经过原点 $(0, 0)$ 。
2. 设 $x_1, y_1$ 是上式的任意一组解，作点 $A(x_1, y_1)$ ，因为：
   $$\Large y_1 = kx_1$$
   所以点 $A$ 在正比例函数 $y = kx$ 的图像上。
3. 过点 $O$ 和点 $A$ 作直线 $OA$ 。

接下来说明直线 $OA$ 是一次函数 $y = kx$ 的图像：

1. 设 $P(x, y)$ 为直线 $OA$ 上任意一点，过点 $A$ 和点 $P$ 分别作为 $X$ 轴的垂线， 垂足为 $M, N$ ，则：
   $$\Large \triangle OAM \backsim \triangle OPN$$
2. 由相似三角形的对应边成比例，可推出：
   $$\Large \frac{y}{x} = \frac{y_1}{x_1} = k$$

这说明直线 $OA$ 上的所有点的坐标都满足函数关系式：

$$\Large y = kx$$

反之，如果点 $P$ 的坐标 $(x, y)$ 满足 $y = kx$ ，则点 $P$ 一定在直线 $OA$ 上。

综合以上两点说明，就可以得到结论： 函数 $y = kx$ 的图像是一条过原点和点 $A$ 的直线 $OA$ 。

一般一次函数图像

从函数 $y = kx$ 与 $y = kx + b$ 可以看出，对于自变量相同的值 $y = kx + b$ ， 总可以由正比例函数 $y = kx$ 的对应值加上 $b$ 得到，这表示 $y = kx + b$ 的图像是由 $y = kx$ 的图像沿 $y$ 轴方向平移 $b$ 个单位得到。

当 $x = 0$ 时 $y = b$ ，当 $y = 0$ 时 $x = - \frac{b}{k}$ 。

所以一次函数的图像是通过点 $(0, b)$ 和点 $(- \frac{b}{k}, 0)$ 的一条直线。

一次函数具有下面一些主要性质：

1. 函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比。

   设 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 是 $y = kx + b$ 的两组解，则：

   $$\Large y_1 = kx_1 + b \\ y_2 = kx_2 + b$$

   整理得：

   $$\begin{align*} y_2 - y_1 &= k(x_2 - x_1) \\ \text{令} \quad \Delta y &= y_2 - y_1 \\ \Delta x &= x_2 - x_1 \\ \text{则} \quad \Delta y &= k \Delta x \end{align*}$$

2. 当 $k > 0$ 时，一次函数是增函数； 当 $k < 0$ 时，一次函数是减函数；

3.2.3 二次函数模型

$$\Huge y = ax^2 + bx + c \quad (a \not = 0)$$

上式叫做 二次函数。 它的 定义域 是 $\mathbf{R}$。

如果 $b = c = 0$ ，则上式变为：

$$\Large y = ax^2 \quad (a \not = 0)$$

它的图像是一条顶点为原点的抛物线。

当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上； 当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下；

这个函数为偶函数，$y$ 轴为图像的对称轴。

在同一坐标系中，作出 $y = -3x^2$ $y = -2x^2$ $y = -x^2$ $y = -0.5x^2$ $y = 0.5x^2$ $y = x^2$ $y = 2x^2$ $y = 3x^2$ ：

可以看出，函数 $y = ax^2$ 中的系数 $a$ 对函数图形的影响：

• 当 $a$ 从 $-3$ 逐渐变化到 $0$ 时，抛物线开口向下并逐渐变大；
• 当 $a = 0$ 时 $y = 0$ ，抛物线变为 $x$ 轴；
• 当 $a$ 从 $0$ 逐渐变化到 $3$ 时，抛物线开口向上并逐渐变小；