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2.1 不等式的基本性质

2.1.1 实数的大小

实数与数轴上的点之间可以建立一一对应的关系。

数轴

在上图中,点 AA 与数 33 对应,点 BB 与数 2-2 对应等。

可以看到当数轴上一动点 PP 从左向右移动时,它对应的实数就从小到大变化。

这就是说,数轴上的任意两点中,右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大

例如,点 AA 位于点 BB 的右边,则点 AA 对应的实数 33 比点 BB 对应的实数 2-2 大,即 3<23 < -2

同样有 3>33 > -30>20 > -23>03 > 03>4-3 > -44>34 > 3 等。

数轴上的实数关系

在上图中,设 AABB 为任意两个实数,则 AABB 在数轴上的位置有且只有以下三种:

(1)点 AA 在点 BB 右侧(上图(1));(2)点 AA 与点 BB 重合(上图(2));(3)点 AA 与点 BB 左侧(上图(3));

相应的,实数 AABB 的关系为:

(1)A>B\Huge A > B (2)A=B\Huge A = B (3)A<B\Huge A < B

上面三个式子的另一表达方法是:

  1. AB>0A>B\Huge A - B > 0 \hArr A > B
  2. AB=0A=B\Huge A - B = 0 \hArr A = B
  3. AB<0A<B\Huge A - B < 0 \hArr A < B

含有不等号(<,=,>,,,<, =, >, \le, \ge, \not =)的式子,叫做 不等式

2.1.2 不等式的基本性质

从实数大小的基本性质出发,可以证明下列不等式的重要性质。

传递性 通常叫做 不等式的传递性

加法法则乘法法则 通常叫做 作差比较法

传递性

性质

如果 a>b,b>ca > b, b > ca>ca > c

分析

要证 a>ca > c,只要证 ac>0a - c > 0

证明

因为 ac=(ab)+(bc)a - c = (a - b) + (b - c)
又由 a>b,b>ca > b, b > c ,即 ab>0,bc>0a - b > 0, b - c > 0
所以 (ab)+(bc)>0(a - b) + (b - c) > 0
因此 ac>0a - c > 0
a>ca > c

加法法则

不等式的两边同时加上(或同时减去)同一个实数,不等号的方向不变。

性质

如果 a>ba > b ,则 a+c>b+ca + c > b + c

证明

因为 (a+c)(b+c)=ab(a + c) - (b + c) = a - b
又由 a>ba > b ,即 ab>0a - b > 0
所以 a+c>b+ca + c > b + c

乘法法则

如果不等式两边都乘同一个正数,则不等号方向不变,如果都乘同一个负数,则不等号的方向改变。

性质

如果 a>b,c>0a > b, c > 0ac>bcac > bc;如果 a>b,c<0a > b,c < 0ac<bcac < bc

证明

因为 acbc=(ab)cac - bc = (a - b)c
又由 a>ba > b ,即 ab>0a - b > 0
所以:

  • c>0c > 0 时,(ab)c>0(a - b)c > 0 ,即 ac>bcac > bc
  • c<0c < 0 时,(ab)c<0(a - b)c < 0 ,即 ac<bcac < bc

推论:如果 a+b>ca + b > c ,则 a>cba > c - b

不等式中任何一项,变号后可以从一边移到另一边。

证明

因为 a+b>ca + b > c
所以 a+b+(b)>c+(b)a + b + (-b) > c + (-b) (加法法则)
a>cba > c - b

推论:如果 a>ba > b ,且 c>dc > d ,则 a+c>b+da + c > b + d

两个或几个同向不等式,两边分别相加,所得的不等式与原不等式同方向。

证明

因为 a>ba > b
所以 a+c>b+ca + c > b + c (加法法则)
因为 c>dc > d
所以 b+c>b+db + c > b + d
因此 a+c>b+da + c > b + d (传递性)

推论:如果 a>b>0a > b > 0 ,且 $ c > d > 0$ ,则 ac>bdac > bd

两个或几个两边都是正数的同向不等式,把它们的两边分别相乘,所得的不等式与原不等式同向。

证明

因为 a>ba > b ,且 b>0b > 0
所以 ac>bcac > bc (乘法法则)
因为 c>dc > d ,且 b>0b > 0
所以 bc>bdbc > bd
因此 ac>bdac > bd (传递性)