2.1 不等式的基本性质
2.1.1 实数的大小
实数与数轴上的点之间可以建立一一对应的关系。
在上图中,点 A 与数 3 对应,点 B 与数 −2 对应等。
可以看到当数轴上一动点 P 从左向右移动时,它对应的实数就从小到大变化。
这就是说,数轴上的任意两点中,右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大。
例如,点 A 位于点 B 的右边,则点 A 对应的实数 3 比点 B 对应的实数 −2 大,即 3<−2。
同样有 3>−3、0>−2、3>0、−3>−4、4>3 等。
在上图中,设 A、B 为任意两个实数,则 A、B 在数轴上的位置有且只有以下三种:
(1)点 A 在点 B 右侧(上图(1));(2)点 A 与点 B 重合(上图(2));(3)点 A 与点 B 左侧(上图(3));
相应的,实数 A、B 的关系为:
(1)A>B (2)A=B (3)A<B
上面三个式子的另一表达方法是:
- A−B>0⇔A>B
- A−B=0⇔A=B
- A−B<0⇔A<B
含有不等号(<,=,>,≤,≥,=)的式子,叫做 不等式。
2.1.2 不等式的基本性质
从实数大小的基本性质出发,可以证明下列不等式的重要性质。
传递性 通常叫做 不等式的传递性。
加法法则 与 乘法法则 通常叫做 作差比较法。
传递性
如果 a>b,b>c 则 a>c。
要证 a>c,只要证 a−c>0。
因为 a−c=(a−b)+(b−c)
又由 a>b,b>c ,即 a−b>0,b−c>0
所以 (a−b)+(b−c)>0
因此 a−c>0
即 a>c
加法法则
不等式的两边同时加上(或同时减去)同一个实数,不等号的方向不变。
如果 a>b ,则 a+c>b+c。
因为 (a+c)−(b+c)=a−b
又由 a>b ,即 a−b>0
所以 a+c>b+c
乘法法则
如果不等式两边都乘同一个正数,则不等号方向不变,如果都乘同一个负数,则不等号的方向改变。
如果 a>b,c>0 则 ac>bc;如果 a>b,c<0 则 ac<bc。
因为 ac−bc=(a−b)c
又由 a>b ,即 a−b>0
所以:
- 当 c>0 时,(a−b)c>0 ,即 ac>bc;
- 当 c<0 时,(a−b)c<0 ,即 ac<bc;
推论:如果 a+b>c ,则 a>c−b
不等式中任何一项,变号后可以从一边移到另一边。
因为 a+b>c
所以 a+b+(−b)>c+(−b) (加法法则)
即 a>c−b
推论:如果 a>b ,且 c>d ,则 a+c>b+d
两个或几个同向不等式,两边分别相加,所得的不等式与原不等式同方向。
因为 a>b
所以 a+c>b+c (加法法则)
因为 c>d
所以 b+c>b+d
因此 a+c>b+d (传递性)
推论:如果 a>b>0 ,且 $ c > d > 0$ ,则 ac>bd
两个或几个两边都是正数的同向不等式,把它们的两边分别相乘,所得的不等式与原不等式同向。
因为 a>b ,且 b>0
所以 ac>bc (乘法法则)
因为 c>d ,且 b>0
所以 bc>bd
因此 ac>bd (传递性)