2.2 不等式的解法

2.2.1 区间的概念

区间 可用于表示不等式的解集。 下面介绍区间的概念：

设 $a,b$ 是 实数，且 $a<b$ 。

满足 $a \le x \le b$ 的实数 $x$ 的全体，叫做 闭区间，记作 $\Large [a, b]$ 。

满足 $a < x < b$ 的实数 $x$ 的全体，叫做 开区间，记作 $\Large (a, b)$ 。

满足 $a \le x < b$ 或 $a < x \le b$ 的实数 $x$ 的全体，叫做 半开半闭区间，记作 $\Large [a, b)$ 或 $\Large (a, b]$ 。

$a$ 和 $b$ 叫做区间的 端点。 在数轴上表示一个区间时，区间包括端点，则端点用实心点表示； 区间不包括端点，则端点用空心点表示。

全体实数也可以用区间表示为 $\Large (- \infty , + \infty )$ ， 符号 “ $+ \infty$ ” 读作“正无穷大” ，符号 “ $- \infty$ ” 读作“负无穷大”。

2.2.2 一元一次不等式（组）的解法

在不等式中，有 1 个未知数，且次数为 1，这样的不等式叫做 一元一次不等式。

由多个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做 一元一次不等式组。

使不等式成立的未知数的值的全体，通常称为这个 不等式的解集。

解由多个不等式组成的不等式组，就是求这几个不等式的解集的公共部分（取交集）。

解不等式

$$\Large \begin{align*} 0.6x &< 50 + 0.4x \\ 0.6x - 0.4x &< 50 &\text{（移项）} \\ 0.2x &< 50 &\text{（同类项合并）} \\ x &< 250 &\text{（两边同除以 0.2，不等号方向不变）} \end{align*}$$

---

$$\Large \begin{align*} 2(x+1) + \frac{x-2}{3} &> \frac{7x}{2} \\ 12(x+1) + 2(x-2) &> 21x - 6 &\text{（原式两边乘 6）} \\ 12x + 12 + 2x - 4 &> -12 + 4 - 6 &\text{（分配律）} \\ 12x + 2x -21x &> -12 + 4 -6 &\text{（移项）} \\ -7x &> -14 &\text{（合并同类项）} \\ x &< 2 &\text{（不等式性质）} \\ \end{align*}$$

答：原不等式的解集是 $\{ x | x<2 \}$ ，即 $(- \infty , 2)$ 。

解一元一次不等式的步骤归纳

1. 去分母
2. 去括号
3. 移项
4. 合并同类项，化成不等式 $ax > b (a \not = 0)$ 的形式
5. 不等式两边都除以未知数的系数，得出不等式的解集为 $\{ x | x > \frac{b}{a} \}$ 或 $\{ x | x < \frac{b}{a} \}$

解不等式组

$$\Large \begin{cases} x \ge 4000 \\ x \le 4100 \\ x \le 5040 \end{cases}$$

$x$ 的取值范围应为同时满足这三个不等式的整数，容易看出 $x$ 的取值范围是满足 $\large 4000 \le x \le 4100$ 的整数。

---

$$\Large \begin{cases} -3x + 2x \ge 5 \\ x + \frac{1}{3}x \le -1 \end{cases}$$

解： 由原不等式组可得：$\begin{cases} -x \ge 5 \\ \frac{4}{3} x \le -1 \end{cases}$ 即 $\begin{cases} -x \le -5 \\ x \le - \frac{4}{3} \end{cases}$

所以 $x \le -5$ 即原不等式的解集为 $\large \{ x | x \le -5 \}$

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$$\Large \begin{cases} 5x - 7x \le -4x - 2 \\ \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x + 2 > 0 \end{cases}$$

解： 由原不等式组可得 $\begin{cases} 2x \le -2 \\ \frac{1}{6}x > -2 \end{cases}$ 即 $\begin{cases} x \le -1 \\ x > -12 \end{cases}$

所以 $-12 < x \le -1$

即原不等式组的解集为 $\large \{ x | -12 < x \le -1 \}$

即 $\large (-12, -1]$

解一元一次不等式组的步骤归纳

1. 求出这个不等式组中各个不等式的解集
2. 求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集

2.2.3 一元二次不等式的解法

一元二次不等式的一般形式是：

$$\Large ax^2 + bx + c > 0 \qquad \text{或} \qquad ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)$$

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做 一元二次不等式。 满足一元二次的未知数的取值范围，通常叫做这个不等式的解集。

解一元二次不等式

$$\Large \begin{align} (30 + 2x)(300 - 10x) &\ge 10000 \\ -20x^2 + 600x - 300x + 9000 &\ge 10000 \\ x^2 - 15x + 50 &\le 0 \\ (x -5)(x - 10) &\le 0 \end{align}$$

已知两数乘积小于 0 时，相乘的两数异号，所以解上述不等式 $(4)$ ，相当于解下面两个不等式组：

$$\large (I) \begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ x - 10 \le 0 \end{cases} \quad \text{或} \quad (II) \begin{cases} x - 5 \le 0 \\ x - 10 \ge 0 \end{cases}$$

解不等式 $(I)$ 得：$\large 5 \le x \le 10$

解不等式 $(II)$ ：

1. 可以看出同时满足 $(II)$ 中的不等式的未知数不存在。
2. 考虑到 $300 - 10x \ge 0$ ，即 $x \le 30$ 。
3. 综上，问题中的未知数 $x$ 的取值范围是：
   $$\Large 5 \le x \le 10$$

---

$$\Large \begin{align*} & (1) \quad x^2 - x - 12 > 0 \qquad & (2) \quad x^2 - x - 12 < 0 \end{align*}$$

方程 $x^2 - x - 12 = 0$ 的判别式：

$$\large \Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-12) = 49 > 0$$

于是可求出它的两个根为 $-3, 4$。

把二次三项式 $x^2 - x - 12$ 进行 因式分解，得：

$$\large x^2 - x - 12 = (x + 3)(x - 4)$$

• 把 $(x + 3)$ 与 $(x - 4)$ 看成两个实数，根据两个实数相乘的运算法则：

  • 两数的积大于 0 时，它们同号（同为正或同为负）。
  • 两数的积小于 0 时，它们异号。

• 因此，解原不等式 $(1)$ 就可以转化为解下列两组不等式组：

  $$\large (I) \begin{cases} x + 3 > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases} \quad \text{ 或 } \quad (II) \begin{cases} x + 3 < 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases}$$

  $(I)$ 的解集是 $\large \{ x | x > 4 \}$； $(II)$ 的解集是 $\large \{ x | x < -3 \}$；

  所以原不等式的解集为 $\large \{ x | x > 4 \text{ 或 } x < -3 \}$，即：

  $$\Large (- \infty , -3) \cup (4, + \infty )$$

• 因此，解原不等式 $(2)$ 就可以转化为解下列两组不等式组：

  $$\large (III) \begin{cases} x + 3 > 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases} \quad \text{ 或 } \quad (IV) \begin{cases} x + 3 < 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases}$$

  $(III)$ 的解集是 $\large \{ x | -3 < x < 4 \}$； $(IV)$ 的解集是 $\large \varnothing$；

  所以原不等式的解集为 $\large \{ x | -3 < x < 4 \}$，即：

  $$\Large (-3, 4)$$

---

$$\Large (1) \quad x^2 - 4x + 4 > 0 \qquad (2) \quad x^2 - 4x + 4 < 0$$

方程 $x^2 - 4x + 4 = 0$ 的判别式：

$$\large \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 0$$

即方程 $x^2 - 4x + 4 > 0$ 有两个相等的根 $x = 2$。 用配方法，$(1)$ 和 $(2)$ 中的不等式可分别化为：

$$\large (1) \quad(x - 2)^2 > 0 \qquad (2) \quad(x - 2)^2 < 0$$

• $(1)$ 因为任何一个实数的平方大于等于 0，所以当 $x \not = 2$ 时，都有 $\large (x - 2)^2 > 0$

  所以 $(1)$ 的解集是 $\Large \{ x \in \mathbf{R} | x \not = 2 \}$， 即 $\Large (- \infty , 2) \cup (2, + \infty)$。

• $(2)$ 由 $(1)$ 可知，没有一个实数 $x$ 使得不等式 $(x - 2)^2$ 成立，所以 $(2)$ 的解集是 $\Large \varnothing$ 。

---

$$\Large (1) \quad x^2 - 2x + 3 > 0 \qquad (2) \quad x^2 - 2x + 3 < 0$$

方程 $x^2 -2x + 3 = 0$ 的判别式：

$$\large \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 3 = -8 < 0$$

方程 $x^2 -2x + 3 = 0$ 无解。

用配方法原不等式分别可转化为：

$$\large (1) \quad (x - 1)^2 + 2 > 0 \qquad (2) \quad (x - 1)^2 + 2 < 0$$

• $(1)$ 对于一个实数 $x$ ，都有 $\large x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2 > 0$ 即不等式对任何实数都成立，所以原不等式的解集是 $\Large \mathbf{R}$

• $(2)$ 对于任意一个实数 $x$ ，不等式 $\large (x - 1)^2 + 2 < 0$ 都不成立， 所以原不等式的解集是 $\Large \varnothing$

解一元二次不等式的步骤归纳

可以把解一元二次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0 (a>0)$ 的步骤归纳如下：

1. 求出方程 $\huge ax^2 + bx + c =0$ 的 判别式 $\huge \Delta = b^2 - 4ac$ 的值。

2. • 如果 $\Delta > 0$，则二次方程 $ax^2 + bx + c = 0 (a > 0)$ 有两个不等式的根 $x_1$ 、 $x_2$ （设 $x_1 < x_2$），则

     $$\Large ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

     不等式 $a(x - x_1)(x - x_2) > 0$ 的解集是：

     $$(- \infty , x_1) \cup (x_2, + \infty)$$

     不等式 $a(x - x_1)(x - x_2) < 0$ 的解集是：

     $$(x_1, x_2)$$

   • 如果 $\Delta = 0$，通过配方得

     $$\Large a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ab - b^2}{4a} = a(x + \frac{b}{2x})^2$$

     由此可知，$ax^2 + bx +c > 0$ 的解集是

     $$(- \infty , - \frac{b}{2a}) \cup (- \frac{b}{2a} , + \infty)$$

     $ax^2 + bx +c < 0$ 的解集是 $\varnothing$

   • 如果 $\Delta < 0$，通过配方得

     $$\Large (- \infty , - \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} (\frac{4ac - b^2}{4a} > 0)$$

     由此可知，$ax^2 + bx + c > 0$ 的解集是 $\mathbf{R}$

     $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集是 $\varnothing$

对于 $a<0$ 的情况，通过在已知不等式两端乘以 $-1$，可化为 $a>0$

2.2.4 含有绝对值的不等式

在实数集中，对任何实数 $a$ ：

$$\Large |a| = \begin{cases} a \text{（当 a > 0 时）} \\ 0 \text{（当 a = 0 时）} \\ -a \text{（当 a < 0 时）} \\ \end{cases}$$

实数 $a$ 的绝对值 $|a|$ ，在数轴上等于对应实数 $a$ 的点到原点的距离。

由 $|a|$ 的这一几何意义可知，不等式 $\Large |x| \le 3$ 的解集是， 与原点的距离小于或等于 3 的所有点所对应的实数全体构成的集合，即：

$$\Large \{ x | |x| \le 3 \} = \{ x | x \ge -3 \text{ ，且 } x \le 3 \} \text{ ，或 } [-3, 3]$$

不等式 $\Large |x| > 3$ 的解集是，与原点距离大于 3 的所有点所对应的实数全体构成的集合。即：

$$\Large \{ x | x < -3 \text{或} x > 3 \} \text{即} (- \infty , -3) \cup (3, + \infty)$$

一般地，如果 $a > 0$ ，则：

$$\Large \begin{align*} |x| \le a & \hArr - a \le x \le a \\ |x| > a & \hArr x < -a \text{ 或 } x > a \end{align*}$$

解含有绝对值的不等式

$$\Huge |2x -3| < 5$$

$$\Large \begin{align*} & -5 &<& 2x - 3 &<& 5 \\ & -5 + 3 &<& 2x - 3 + 3 &<& 5 + 3 \\ & -2 &<& 2x &<& 8 \\ & -2 \times \frac{1}{2} &<& 2x \times \frac{1}{2} &<& 8 \times \frac{1}{2} \\ & -1 &<& x &<& 4 \end{align*}$$

因此，原不等式的解集是 $\Large (-1, 4)$ 。

---

$$\Huge |2x - 3| \ge 5$$

原不等式等价于：

$$\Large 2x - 3 \ge 5 \quad \text{或} \quad 2x - 3 \le 5$$

$2x - 3 \ge 5$ 的解集是 $[4, + \infty )$ ； $2x - 3 \le 5$ 的解集是 $(- \infty , -1]$；

所以原不等式的解集是 $\Large (- \infty , -1] \cup [4, + \infty)$