1.2 充要条件

1.2.1 充要条件

在数学中经常会遇到“如果 $p$ ，则 $q$ ”形式的命题，这种命题的真假要通过推理来判断。

如果 $p$ 为真，通过推理，证明 $q$ 也为真，那么”如果 $p$ , 则 $q$ “ 就是真命题。

这时，就可以说，由 “ $p$ 推出 $q$ ”，用符号记作：

\Huge p \rArr q

通常还表述为： $p$ 是 $q$ 的 充分条件 或 $q$ 是 $p$ 的 必要条件。

例如，以下四句话表达的是同一逻辑关系：

如果 $p$ 是 $q$ 的 充分条件（ $p \Rightarrow q$ ）， $p$ 又是 $q$ 的 必要条件（ $q \Rightarrow p$ ），则称 $p$ 是 $q$ 的 充分且必要条件，简称 充要条件。记作：

\Huge p \hArr q

显然，如果 $p$ 是 $q$ 的 充要条件，那么 $q$ 也是 $p$ 的 充要条件。（ $\hArr$ 符号左右边的值可以互换）

$p$ 是 $q$ 的充要条件，又常说成：“ $q$ 当且仅当 $p$ ” 或 “ $p$ 与 $q$ 等价”。

设 $A = \{ x | p(x) \}$ 、 $B = \{ x | q(x) \}$ ，如果 $A \subseteq B$ 则：

\Huge x \in A \rArr x \in B

于是 $x$ 具有性质 $p(x)$ $\LARGE \rArr$ $x$ 具有性质 $q(x)$ ，即：

\Huge p(x) \rArr q(x)

反之，如果 $A$ 中的所有元素 $x$ 都具有性质 $q(x)$ ，则 $A$ 一定是 $B$ 的子集。