8.2 直线的方程

8.2.1 直线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，给定一条直线，如果直线上点的坐标都满足某个方程，而且这个方程的坐标所表示的点都在给定的直线上，那么这个方程叫做 直线的方程.

8.2.2 直线的倾斜角与斜率

一般地，平面直角坐标系内，直线向上的方向与 $x$ 轴正方向所成的最小正角 $a$ 叫做这条直线的 倾斜角.

倾斜角不是 $90 \degree$ 的直线，它的倾斜角 $a$ 的正切值叫做这条直线的斜率， 通常用 $k$ 表示， 即

$$\Large k = tana$$

一般地，若 $x_1\not =x_2$ , 则过点 $P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$ 的直线的斜率为

$$\Large k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

8.2.3 直线方程的几种形式

1.直线的点斜式方程和斜截式方程

设直线 $l$ 上不同于 $P_0$ 的任意一点的坐标为 $P(x,y)$ , 则由 $l$ 的斜率为 $k$ 可知

$$\Large k = \frac{y-y_0}{x-x_0}$$

整理得

$$\Large y-y_0 = k(x-x_0)$$

上式叫做直线的 点斜式方程.

一条直线，如果与 $y$ 轴交于点 $(0,b)$, 则称这条直线在 $y$ 轴上的 截距.

由直线的点斜式方程可知，如果直线的斜率为 $k$ ， 截距为 $b$ ， 则直线的方程为 $y-b = k(x-0)$, 即

$$\Large y = kx + b$$

上式叫做直线的 斜截式方程.

2.直线的一般式方程和方向向量

证明二元一次方程

$$\Large Ax + By + C = 0(A^2 + B^2 \not =0)$$

在平面直角坐标系内对应的一定是直线，上式叫做直线的 一般式方程.

如果非零向量 $a$ 所在的直线与直线 $l$ 平行，则称 $a$ 为直线 $l$ 的一个 方向向量.；如果非零向量 $n$ 所在的直线与直线 $l$ 垂直， 则称 $a$ 为直线 $l$ 的一个 法向量.

8.2.4 直线与直线的位置关系

1.两直线平行或相交

给定平面直角坐标系中的两直线

$$\Large l_1:y = k_1x + b_1 \\ l_2:y = k_2x + b_2$$

事实上， 如果 $l_1:y = k_1x + b_1， l_2:y = k_2x + b_2$ 那么:

$$\Large l_1与l_2相交 \iff k_1 \not = k_2; \\ l_1与l_2平行 \iff k_1 = k_2, b_1 \not = b_2 \\ l_1与l_2重合 \iff k_1 = k_2, b_1 = b_2$$

2.直线与直线垂直

因为 $a_1 \perp a_2 \iff a_1 · a_2 = 0 \iff 1 + k_1k_2 = 0$

所以

$$\Large l_1 \perp l_2 \iff k_1k_2 = -1$$

又因为 $n_1 \perp n_2 \iff n_1·n_2 = 0 \iff A_1A_2 + B_1B_2 = 0$

所以

$$\Large l_1 \perp l_2 \iff A_1A_2 + B_1B_2 = 0$$

8.2.5 点到直线的距离

一般地，求点 $P_0(x_0,y_0)$ 带直线 $l:Ax + Bx + C = 0$ 的距离 $d$ 的公式是

$$\Large d = \frac{\lvert Ax_0 + By_0 + C \lvert }{\sqrt{A^2+B^2}}$$

由以上公式可知，只要知道点的坐标和直线的一般方程， 就可求出点到直线的距离.