交叉（十字）相乘法

$$\Huge \begin{align*} & x^2 + (p + q)x + pq \\ &= x^2 + px +qx + pq \\ &= (x + p)(x + q) \end{align*}$$

因式分解是与整式乘法（多项式与多项式相乘） 方向相反的变形。

利用上式可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式。

$$\Large \begin{align} & x^2 + 3x + 2 \\ &= x^2 + (1 + 2)x + 1 \times 2 \\ &= x^2 + 1x + 2x + 1 \times 2 \\ &= (x + 1)(x + 2) \end{align}$$

将上式分解因式：

1. 原式的二次项系数是 $1$、一次项系数 $3 = 1 + 2$、常数项 $2 = 1 \times 2$。
2. 因此这是一个 $x^2 + (p + q)x + pq$ 型的式子。
3. 去括号得。
4. 使用 多项式与多项式相乘 反向变形。

上述分解因式 $x^2 + 3x + 2$ 得过程，也可以使用十字相乘的形式形象地表示：

1. 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
2. 再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
3. 然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

$$\Large \frac{ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} }{1 \times 2 + 1 \times 1 = 3}$$

例题

$$\Large \begin{align*} & x^2 + 7x + 10 \\ &= x^2 + (2 + 5)x + 2 \times 5 \\ &= x^2 + 2x + 5x + 2 \times 5 \\ &= (x + 2)(x + 5) \end{align*}$$

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$$\Large \begin{align*} & x^2 - 2x - 8 \\ &= x^2 + (-2 + 4)x - 2 \times 4 \\ &= x^2 - 2x + 4x - 2 \times 4 \\ &= (x - 2)(x + 4) \end{align*}$$

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$$\Large \begin{align*} & y^2 - 7y + 12 \\ &= y^2 - (3 + 4)y + 3 \times 4 \\ &= y^2 - 3y - 4y + 3 \times 4 \\ &= (y - 3)(y - 4) \end{align*}$$

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$$\Large \begin{align*} & x^2 + 7x - 18 \\ &= x^2 + (-2 + 9)x - 2 \times 9 \\ &= x^2 - 2x + 9x - 2 \times 9 \\ &= (x - 2)(x + 9) \end{align*}$$

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