1.1 集合及其运算
1.1.1 集合的概念
参考: 集合概念_百度百科
集合概念关键字
对象:可以感觉到的客观存在以及思想中的事物或抽象符号,都可以称作对象。
集合:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。
元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素。
集合有时也简称为 集。 含有有限个元素的集合叫做 有限集,含有无限个元素的集合叫做 无限集。
集合中元素的特性
- 确定性:作为集合的元素,必须是能够确定的。
- 互异性:集合中的元素一定是不同的。
- 无序性:集合中的元素没有固定的顺序。
集合符号
:属于;
:不属于;
:由全体非负整数构成的集合,叫做 自然数集 或 非负正数集;
或 :非负整数集 内排除 0 的集合,叫做 正整数集;
:由全体整数构成的集合,叫做 整数集;
1.1.2 集合的表示方法
列举法
当集合元素不多时,可以直接将元素列举出来,并写在花括号( )内,这种表示集合的方法叫做 列举法:
性质描述法
在上式中,竖线( )左边表示集合 中的任意一个元素,并标出元素的取值范围, 竖线( )右边表示只有集合 内的元素才具有的 特征性质 。
在某种约定下, 的取值合集可省略不写,例如上式可简写为 。
1.1.3 集合之间的关系
集合关系符号
:包含于;
:包含;
:空集;
:真包含于;
:真包含;
子集
如果集合 的任意一个元素都是集合 的元素,那么集合 叫做集合 的 子集,记作:
读作“ 包含于 ” 或 “ 包含 ”。
空集
不含任何元素的集合叫做 空集,记作 。
空集 是任意一集合的子集。
真子集
如果集合 是集合 的子集,并且 中至少有一个元素不属于 ,那么集合 叫做 集合 的 真子集,记作:
读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”。
真子集与子集的区别:
- 子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素,有可能 与另一个集合相等;
- 真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素,但不存在 相等;
维恩图(Venn diagram)
参考 维恩图_百度百科
通常使用平面上一个封闭曲线的内部表示一个集合,如上图(1)。
如果集合 是集合 的 真子集,那么把表示 的区域画在表示 的区域内部,如上图(2)。
集合相等
如果两个集合的 元素 完全相同,那么就可以说这两个 集合相等。
集合 等于集合 ,记作:
由相等的定义,可得:
如果 且 ,那么 ; 反之,如果 ,那么 且 ;
1.1.4 集合的运算
交集
给定两个集合 、,由既属于 又属于 的所有公共元素所构成的集合,叫做 、 的 交集,记作:
读作“ 交 ”
并集
给定两个集合 、,把它们所有的元素合并在一起构成的集合,叫做 与 的 并集,记作:
读作“ 并 ”
全集与补集
在研究集合与集合之间的关系时,如果一些集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为这些集合的 全集,通常用 表示。
如果 是全集 的一个 子集,由 中的所有不属于 的元素构成的集合,叫做 在 中的 补集,记作:
读作“ 在 中的补集”。