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1.1 集合及其运算

1.1.1 集合的概念

参考: 集合概念_百度百科

集合概念关键字

对象:可以感觉到的客观存在以及思想中的事物或抽象符号,都可以称作对象。

集合:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。

元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素。

集合有时也简称为 。 含有有限个元素的集合叫做 有限集,含有无限个元素的集合叫做 无限集

集合中元素的特性

  1. 确定性:作为集合的元素,必须是能够确定的。
  2. 互异性:集合中的元素一定是不同的。
  3. 无序性:集合中的元素没有固定的顺序。

集合符号

\Large \in :属于;

\Large \notin :不属于;

N\Large \mathbf{N} :由全体非负整数构成的集合,叫做 自然数集非负正数集

N+\Large \mathbf{N_+}N\Large \mathbf{N^*}非负整数集 内排除 0 的集合,叫做 正整数集

Z\Large \mathbf{Z} :由全体整数构成的集合,叫做 整数集

Q\Large \mathbf{Q} :由全体 有理数 构成的集合,叫做 有理数集

R\Large \mathbf{R} :由全体 实数 构成的集合,叫做 实数集

1.1.2 集合的表示方法

列举法

当集合元素不多时,可以直接将元素列举出来,并写在花括号( {}\{\} )内,这种表示集合的方法叫做 列举法

{1,2,3,4,5,6}\Huge \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

性质描述法

A={xIp(x)}\Huge A = \{x∈I | p(x)\}

在上式中,竖线( | )左边表示集合 AA 中的任意一个元素,并标出元素的取值范围, 竖线( | )右边表示只有集合 AA 内的元素才具有的 特征性质

在某种约定下,xx 的取值合集可省略不写,例如上式可简写为 A=xp(x)\Large A = {x | p(x)}

1.1.3 集合之间的关系

集合关系符号

\Large \subseteq :包含于;

\Large \supseteq :包含;

\Large \varnothing :空集;

\Large \subsetneqq :真包含于;

\Large \supsetneqq :真包含;

子集

如果集合 AA 的任意一个元素都是集合 BB 的元素,那么集合 AA 叫做集合 BB子集,记作:

ABAB\Huge A \subseteq B 或 A \supseteq B

读作“AA 包含于 BB” 或 “BB 包含 AA”。

空集

不含任何元素的集合叫做 空集,记作 \Large \varnothing

空集 是任意一集合的子集。

真子集

如果集合 AA 是集合 BB 的子集,并且 BB 中至少有一个元素不属于 AA,那么集合 AA 叫做 集合 BB真子集,记作:

ABBA\Huge A \subsetneqq B 或 B \supsetneqq A

读作“AA 真包含于 BB”或“BB 真包含 AA”。

真子集与子集的区别:

  • 子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素,有可能 与另一个集合相等;
  • 真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素,但不存在 相等;

维恩图(Venn diagram)

参考 维恩图_百度百科

维恩图

通常使用平面上一个封闭曲线的内部表示一个集合,如上图(1)。

如果集合 AA 是集合 BB真子集,那么把表示 AA 的区域画在表示 BB 的区域内部,如上图(2)。

集合相等

如果两个集合的 元素 完全相同,那么就可以说这两个 集合相等

集合 AA 等于集合 BB,记作:

A=B\Huge A = B

由相等的定义,可得:

如果 ABA \subseteq BBAB \subseteq A,那么 A=BA = B; 反之,如果 A=BA = B,那么 ABA \subseteq BBAB \subseteq A

1.1.4 集合的运算

交集

给定两个集合 AABB,由既属于 AA 又属于 BB 的所有公共元素所构成的集合,叫做 AABB交集,记作:

AB\Huge A \cap B

读作“AABB

并集

给定两个集合 AABB,把它们所有的元素合并在一起构成的集合,叫做 AABB并集,记作:

AB\Huge A \cup B

读作“AABB

全集与补集

在研究集合与集合之间的关系时,如果一些集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为这些集合的 全集,通常用 UU 表示。

如果 AA 是全集 UU 的一个 子集,由 UU 中的所有不属于 AA 的元素构成的集合,叫做 AAUU 中的 补集,记作:

UA\Huge \complement _ U A

读作“AABB 中的补集”。