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3.1 函数

3.1.1 函数的概念

变量与常量

变量(variable):没有固定的值,可以改变的量;

常量(constant):保持不变的量;

自变量与因变量

自变量(Independent variable): 能够影响其他变量的变量叫做 自变量

因变量(dependent variable): 随着 自变量 的变化而变化,且 自变量 取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。

函数三要素

函数 的三要素是:

  1. 定义域(domain of definition)
  2. 值域(range)
  3. 对应法则(corresponding rule)
y=f(x)\Huge y=f(x)

在上式中 xx自变量yy因变量。 自变量 xx 的取值集合叫做函数的 定义域, 对应的 因变量yy 的集合叫做函数的 值域

在上式中对 xx 取值为 aayy 的值也随之被确定为 bbbb 就叫做 aa函数值

在上式中表示 变量 yy变量 xx函数, 其中字母 ff 就抽象地表示 变量 yy变量 xx对应法则

3.1.2 函数的表示方法

函数 概念的核心是 变量 yy变量 xx 之间的 对应法则。 表示 对应法则 的方法是多种多样的,通常有:

解析法(分析法、公式法)

s=100t(0t2)\Huge s=100t \quad (0 \le t \le 2)

在上式中给出了 自变量 tt应变量 ss 的关系,这种表示函数的方法叫做 解析法(analytic method) , 并且这个等式叫做 函数解析式

也叫:分析法公式法

列表法

函数自变量因变量 的值列成表格来表示函数,这种方法叫 列表法

图像法

用“图形”来表示 函数的图像 , 这种方法叫做 图像法

3.1.3 函数的单调性

函数的 单调性(monotonicity) 也叫函数的增减性,可以定性描述在一个指定区间内,函数值 变化与 自变量 变化的关系。

增函数与减函数

增函数与减函数

如上图 1,函数 f(x)f(x)自变量 在其定义区间内增大(或减小)时,函数值 也随着增大(或减小),这时称函数在这个区间上是 增函数

如上图 2,函数 f(x)f(x)自变量 在其定义区间内增大(或减小)时,函数值 反而随着减小(或增大) ,这时称函数在这个区间上是 减函数

由函数解析式判断函数是增函数还是减函数

已知函数 y=f(x)y = f(x) ,在给定区间上,它的图象由上图所示,在此图象上任意取两点 A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) ,记作:

Δx=x2x1Δy=f(x2)f(x1)=y2y1\Large \begin{align*} \Delta x &= x_2 - x_1 \\ \Delta y &= f(x_2) - f(x_1) \\ &= y_2 - y_1 \end{align*}

Δx\Delta x 表示自变量 xx 的增量,Δy\Delta y 表示自变量 yy 的增量。

这时,对于属于这个区间的任意两个不相等是值 x1,x2x_1, x_2

  • 这个函数是增函数的充要条件是 ΔyΔx>0\large \frac{ \Delta y }{ \Delta x } > 0
  • 这个函数是减函数的充要条件是 ΔyΔx<0\large \frac{ \Delta y }{ \Delta x } < 0

由此得到,由一个函数的解析式判断一个函数是增函数还是减函数的步骤:

  1. 计算 Δx\large \Delta xΔy\large \Delta y
  2. 计算 k=ΔyΔx\large k = \frac{ \Delta y }{ \Delta x }
    • k>0k > 0 时,函数 y=f(x)y = f(x) 在这个区间上是增函数(上图 (1));
    • k<0k < 0 时,函数 y=f(x)y = f(x) 在这个区间上是增函数(上图 (2));

如果一个函数在某个区间上是增函数或减函数,就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性

3.1.4 函数的奇偶性

奇函数

若对函数 f(x)f(x) 定义域内的任意一个 xx 值,都有 f(x)=f(x)\large f(-x)=-f(x),则称之为 奇函数

一个函数是奇函数的充要条件是,它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形。

偶函数

若对函数 f(x)f(x) 定义域内的任意一个 xx 值,都有 f(x)=f(x)\large f(-x)=f(x),则称之为 偶函数

一个函数是偶函数的充要条件是,它的图象是以 yy 轴为对称轴的轴对称图形。

判断函数的奇偶性

在奇函数和偶函数的定义中,都要求函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称, 如果一个函数的定义域对应的区间关于坐标原点不对称,这就失去了函数是奇函数或是偶函数的前提条件, 函数也就无奇偶性可言。

判断一个函数 y=f(x)(xA)\large y = f(x) (x \in A) 的奇偶性步骤如下:

  1. 判断定义域是否关于原点对称,即当 xAx \in A 时,是否有 xA-x \in A
  2. 当 1 成立时,对于任意一个 xAx \in A
    • f(x)=f(x)\large f(-x) = -f(x) 则函数 y=f(x)y = f(x) 是奇函数;
    • f(x)=f(x)\large f(-x) = f(x) 则函数 y=f(x)y = f(x) 是偶函数;