3.1 函数
3.1.1 函数的概念
变量与常量
变量(variable):没有固定的值,可以改变的量;
常量(constant):保持不变的量;
自变量与因变量
自变量(Independent variable): 能够影响其他变量的变量叫做 自变量。
因变量(dependent variable): 随着 自变量 的变化而变化,且 自变量 取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
函数三要素
函数 的三要素是:
在上式中 为 自变量, 为 因变量。 自变量 的取值集合叫做函数的 定义域, 对应的 因变量 值 的集合叫做函数的 值域。
在上式中对 取值为 , 的值也随之被确定为 , 就叫做 的 函数值。
在上式中表示 变量 是 变量 的 函数, 其中字母 就抽象地表示 变量 与 变量 的 对应法则。
3.1.2 函数的表示方法
函数 概念的核心是 变量 与 变量 之间的 对应法则。 表示 对应法则 的方法是多种多样的,通常有:
解析法(分析法、公式法)
在上式中给出了 自变量 与 应变量 的关系,这种表示函数的方法叫做 解析法(analytic method) , 并且这个等式叫做 函数 的 解析式。
也叫:分析法 或 公式法。
列表法
把 函数 的 自变量 与 因变量 的值列成表格来表示函数,这种方法叫 列表法。
图像法
3.1.3 函数的单调性
函数的 单调性(monotonicity) 也叫函数的增减性,可以定性描述在一个指定区间内,函数值 变化与 自变量 变化的关系。
增函数与减函数
如上图 1,函数 的 自变量 在其定义区间内增大(或减小)时,函数值 也随着增大(或减小),这时称函数在这个区间上是 增函数。
如上图 2,函数 的 自变量 在其定义区间内增大(或减小)时,函数值 反而随着减小(或增大) ,这时称函数在这个区间上是 减函数。
由函数解析式判断函数是增函数还是减函数
已知函数 ,在给定区间上,它的图象由上图所示,在此图象上任意取两点 ,记作:
表示自变量 的增量, 表示自变量 的增量。
这时,对于属于这个区间的任意两个不相等是值 :
- 这个函数是增函数的充要条件是 ;
- 这个函数是减函数的充要条件是 ;
由此得到,由一个函数的解析式判断一个函数是增函数还是减函数的步骤:
- 计算 和
- 计算
- 当 时,函数 在这个区间上是增函数(上图 (1));
- 当 时,函数 在这个区间上是增函数(上图 (2));
如果一个函数在某个区间上是增函数或减函数,就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性。
3.1.4 函数的奇偶性
奇函数
若对函数 定义域内的任意一个 值,都有 ,则称之为 奇函数。
一个函数是奇函数的充要条件是,它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形。
偶函数
若对函数 定义域内的任意一个 值,都有 ,则称之为 偶函数。
一个函数是偶函数的充要条件是,它的图象是以 轴为对称轴的轴对称图形。
判断函数的奇偶性
在奇函数和偶函数的定义中,都要求函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称, 如果一个函数的定义域对应的区间关于坐标原点不对称,这就失去了函数是奇函数或是偶函数的前提条件, 函数也就无奇偶性可言。
判断一个函数 的奇偶性步骤如下:
- 判断定义域是否关于原点对称,即当 时,是否有
- 当 1 成立时,对于任意一个
- 若 则函数 是奇函数;
- 若 则函数 是偶函数;