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5.1 角的概念的推广及其度量

5.1.1 角的概念的推广

在初中时学过,在平面内,角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。

当时不考虑旋转方向,不论射线 OAOA 旋转到 OBOB , 还是从射线 OBOB 旋转到 OAOA ,它们的旋转绝对量都是一样的, 而且旋转的绝对量不超过一个周角。

在现实生活中,有很多角的大小超过这个范围。

2008 年 8 月 20 日,我国选手 张文秀 在北京奥运会女子链球决赛中夺得铜牌,实现了中国链球奥运奖牌零的突破, 上图为张文秀在比赛中的照片。

链球是用一条链子与把手相连的金属球。 掷链球是一项田径投掷运动,运动员在投掷圈内通过旋转 3~4 圈, 使链球逐渐获得加速,最后将链球投出。

观察上图,可以发现,射线 OPOP 可以沿逆时针方向旋转,也可以沿着顺时针方向旋转, OPOP 转过的角度也不是一个平角。

为了描述链球转过的角度的大小与方向,有必要对角的概念加以推广。

正角

逆时针 方向旋转而成的角叫做 正角

负角

顺时针 方向旋转而成的角叫做 负角

零角

当射线 没有旋转 时,也把它看成一个角,叫做 零角

转角

在画图时,常用带箭头的弧来表示旋转方向和旋转的绝对量。

旋转生成的角,又常称为 转角

各角和的旋转量等于各角旋转量的和

90°30°90 \degree - 30 \degree 可直接看成 90°90 \degree30°-30 \degree 的和。

αβ\alpha - \beta 可直接看成 α\alphaβ- \beta 的代数和。

引入正、负角的概念后,角的减法运算都可以转化为角的加法运算。

标准位置

在直角坐标系中讨论角时,通常使角的顶点与坐标原点重合, 角的 始边xx 轴的正半轴重合。

这样角的大小和方向就可以确定 终边 所在的坐标系中的位置。

这样放置的角,就可以说它在坐标系中处于 标准位置

处于标准位置的角的 终边 落在第几象限,就叫第几象限的角。

5.1.2 弧度制

弧度制_百度百科

把一圆周 360 等分,则其中一份所对的圆心角是 1 度角。 这种用度做单位来度量角的制度叫做 角度制

由此可见,在同一圆内,角是用它对的圆弧来度量的,角的大小与它所在的圆弧长成正比, 弧长扩大几倍,这段弧所对应的角也相应扩大相同的倍数。

观察上图,两个大小不同的同心圆,虽然同一圆心角 aa 所对应的弧长与半径都不相等, 但弧长与半径长成正比例,即它们的比值 lr\Large \frac{l}{r} 是一个常数。

这表示弧长与半径的比值,与半径长度无关,而只与 aa 的角度有关, 因此可以使用圆的半径作为单位去量弧。

把等于半径长的圆弧所对应的圆心角叫做 1 弧度的角

例如上图中,AB\overgroup{AB} 的长等于半径 rrAB\overgroup{AB} 所对的圆心角就是 1 弧度的角, 弧度记作  rad\Large \text{ rad}

角度制与弧度制的换算关系

长为 ll 的弧所对的圆心角(正角)a=lr( rad)a = \frac{l}{r} (\text{ rad})

已知,圆周长 l=2πrl = 2 \pi r 因此:

  • 周角 =2πrr=2π rad\Large = \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi \text{ rad}
  • 平角 =π rad\Large = \pi \text{ rad}
  • 直角 =π2 rad\Large = \frac{\pi}{2} \text{ rad}

但平角又等于 180°180 \degree ,于是可得到角度制与弧度制的换算关系:

  • π rad=180°\LARGE \pi \text{ rad} = 180 \degree
  • 1 rad=(180π)°57°18=57.30°\LARGE 1 \text{ rad} = ( \frac{180}{\pi}) \degree \approx 57 \degree 18 \rq = 57.30 \degree
  • 1°=π180 rad0.01745rad\LARGE 1 \degree = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx 0.01745 \text{rad}

弧度制与角度制的换算公式

设一个角的弧度为 aa ,角度为 n°n \degree (分和秒都要先转换为度表示),则:

a=nπ180n=a180π\Huge a = n \sdot \frac{\pi}{180} \qquad n = a \sdot \frac{180}{\pi}

总结

角的概念推广以后,无论用角度制还是弧度制,都能在角的集合与实数集 R\mathbf{R} 之间建立一种一一对应的关系:

  • 每个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与之对应;
  • 反之,每个实数也都有唯一的一个角与之对应;

理解以上对应关系时,应当注意角度制是 60 进位制,遇到如 35°635 \degree 6 \rq 这样的角,应把它化为 10 进制的数值 35.1°35.1 \degree

但弧度制不存在上述问题,弧度数是 10 进制的实数, 这是角度制与弧度制的一个重要区别。

常用特殊角的度数与弧度的对应值

周角的弧度
000°0 \degree00
112\frac{1}{12}30°30 \degreeπ6\frac{\pi}{6}
18\frac{1}{8}45°45 \degreeπ4\frac{\pi}{4}
16\frac{1}{6}60°60 \degreeπ3\frac{\pi}{3}
14\frac{1}{4}90°90 \degreeπ2\frac{\pi}{2}
12\frac{1}{2}180°180 \degreeπ\pi
34\frac{3}{4}270°270 \degree3π2\frac{3 \pi}{2}
11360°360 \degree2π2 \pi

角度与弧度转换器