5.1 角的概念的推广及其度量
5.1.1 角的概念的推广
在初中时学过,在平面内,角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
当时不考虑旋转方向,不论射线 旋转到 , 还是从射线 旋转到 ,它们的旋转绝对量都是一样的, 而且旋转的绝对量不超过一个周角。
在现实生活中,有很多角的大小超过这个范围。
2008 年 8 月 20 日,我国选手 张文秀 在北京奥运会女子链球决赛中夺得铜牌,实现了中国链球奥运奖牌零的突破, 上图为张文秀在比赛中的照片。
链球是用一条链子与把手相连的金属球。 掷链球是一项田径投掷运动,运动员在投掷圈内通过旋转 3~4 圈, 使链球逐渐获得加速,最后将链球投出。
观察上图,可以发现,射线 可以沿逆时针方向旋转,也可以沿着顺时针方向旋转, 转过的角度也不是一个平角。
为了描述链球转过的角度的大小与方向,有必要对角的概念加以推广。
正角
按 逆时针 方向旋转而成的角叫做 正角。
负角
按 顺时针 方向旋转而成的角叫做 负角。
零角
当射线 没有旋转 时,也把它看成一个角,叫做 零角。
转角
在画图时,常用带箭头的弧来表示旋转方向和旋转的绝对量。
旋转生成的角,又常称为 转角。
各角和的旋转量等于各角旋转量的和
可直接看成 与 的和。
可直接看成 与 的代数和。
引入正、负角的概念后,角的减法运算都可以转化为角的加法运算。
标准位置
在直角坐标系中讨论角时,通常使角的顶点与坐标原点重合, 角的 始边 与 轴的正半轴重合。
这样角的大小和方向就可以确定 终边 所在的坐标系中的位置。
这样放置的角,就可以说它在坐标系中处于 标准位置。
处于标准位置的角的 终边 落在第几象限,就叫第几象限的角。
5.1.2 弧度制
把一圆周 360 等分,则其中一份所对的圆心角是 1 度角。 这种用度做单位来度量角的制度叫做 角度制。
由此可见,在同一圆内,角是用它对的圆弧来度量的,角的大小与它所在的圆弧长成正比, 弧长扩大几倍,这段弧所对应的角也相应扩大相同的倍数。
观察上图,两个大小不同的同心圆,虽然同一圆心角 所对应的弧长与半径都不相等, 但弧长与半径长成正比例,即它们的比值 是一个常数。
这表示弧长与半径的比值,与半径长度无关,而只与 的角度有关, 因此可以使用圆的半径作为单位去量弧。
把等于半径长的圆弧所对应的圆心角叫做 1 弧度的角。
例如上图中, 的长等于半径 , 所对的圆心角就是 1 弧度的角, 弧度记作 。
角度制与弧度制的换算关系
长为 的弧所对的圆心角(正角) 。
已知,圆周长 因此:
- 周角
- 平角
- 直角
但平角又等于 ,于是可得到角度制与弧度制的换算关系:
弧度制与角度制的换算公式
设一个角的弧度为 ,角度为 (分和秒都要先转换为度表示),则:
总结
角的概念推广以后,无论用角度制还是弧度制,都能在角的集合与实数集 之间建立一种一一对应的关系:
- 每个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与之对应;
- 反之,每个实数也都有唯一的一个角与之对应;
理解以上对应关系时,应当注意角度制是 60 进位制,遇到如 这样的角,应把它化为 10 进制的数值 。
但弧度制不存在上述问题,弧度数是 10 进制的实数, 这是角度制与弧度制的一个重要区别。
常用特殊角的度数与弧度的对应值
周角的 | 度 | 弧度 |
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