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14.1 整式的乘法

14.1.1 同底数幂的乘法

同底数幂相乘,底数不变,指数相加。

aman=am +n(m, n 都是正整数)\huge a^m \sdot a^n = a^ \text{m +n} \text{(m, n 都是正整数)}

14.1.2 幂的乘方

幂的乘方,底数不变,指数相乘。

(am)n=amn(m, n 都是正整数)\huge (a^m)^n = a^ \text{mn} \text{(m, n 都是正整数)}

14.1.3 积的乘方

积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。

(ab)n=anbn(n 为正整数)\huge (ab)^n = a^n b^n \text{(n 为正整数)}

14.1.4 整式的乘法

单项式与单项式相乘

单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘, 对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。

ac5bc2ac^5 \sdot bc^2 是单项式 ac5ac^5bc2bc^2 相乘, 可以利用乘方交换律、结合律及同底数幂的运算性质来计算:

ac5bc2=(ab)(c5c2)=abc5+2=abc7\huge \begin{align*} & ac^5 \sdot bc^2 \\ &= (a \sdot b) \sdot (c^5 \sdot c^2) \\ &= abc^ \text{5+2} \\ &= abc^7 \end{align*}

单项式与多项式相乘

单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。

p(a+b+c)=pa+pb+pc\huge p(a + b + c) = pa + pb + pc

多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加。

(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq\huge (a + b)(p + q) = ap + aq + bp + bq

同底数幂相除,底数不变,指数相减

am÷an=am - na0,m,n都是正整数,并且m>n\Huge a^m \div a^n = a^ \text{m - n} \\ \Large \text{(} a \not = 0 , m, n \text{都是正整数,并且} m > n \text{)}

任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1

a0=1(a0)\Huge a^0 = 1 (a \not = 0)

整式的除法

单项式相除

单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母, 则连同它的指数作为商的一个因式。

计算 12a3b2x3÷3ab212a^3b^2x^3 \div 3ab^2 就是要求一个单项式与 3ab23ab^2 的乘积等于 12a3b2x312a^3b^2x^3

4a2x33ab2=12a3b2x312a3b2x3÷3ab2=4a2x3\huge \begin{align*} & \because & 4a^2x^3 \sdot 3ab^2 &= 12a^3b^2x^3 \\ & \therefore & 12a^3b^2x^3 \div 3ab^2 &= 4a^2x^3 \end{align*}

上面的商式 4a2x34a^2x^3 的系数 4=12÷34 = 12 \div 3aa 的指数 2=312=3-1bb 的指数 0=220=2-2, 而 b0=1b^0 = 1xx 的指数 3=303=3-0

多项式除以单项式

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。

计算 (am+bm)÷m(am + bm) \div m 就是要求一个多项式与 mm 的积是 am+bmam + bm

(a+b)m=am+bm(am+bm)÷m=a+bam÷m+bm÷m=a+b(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m\huge \begin{align*} & \because & (a + b)m &= am + bm \\ & \therefore & (am + bm) \div m &= a + b \\ & \text{又} & am \div m + bm \div m &= a + b \\ & \therefore & (am + bm) \div m &= am \div m + bm \div m \end{align*}