14.1 整式的乘法

14.1.1 同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

$$\huge a^m \sdot a^n = a^ \text{m +n} \text{（m, n 都是正整数）}$$

14.1.2 幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

$$\huge (a^m)^n = a^ \text{mn} \text{（m, n 都是正整数）}$$

14.1.3 积的乘方

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

$$\huge (ab)^n = a^n b^n \text{（n 为正整数）}$$

14.1.4 整式的乘法

单项式与单项式相乘

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘， 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

$ac^5 \sdot bc^2$ 是单项式 $ac^5$ 与 $bc^2$ 相乘， 可以利用乘方交换律、结合律及同底数幂的运算性质来计算：

$$\huge \begin{align*} & ac^5 \sdot bc^2 \\ &= (a \sdot b) \sdot (c^5 \sdot c^2) \\ &= abc^ \text{5+2} \\ &= abc^7 \end{align*}$$

单项式与多项式相乘

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

$$\huge p(a + b + c) = pa + pb + pc$$

多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。

$$\huge (a + b)(p + q) = ap + aq + bp + bq$$

同底数幂相除，底数不变，指数相减

$$\Huge a^m \div a^n = a^ \text{m - n} \\ \Large \text{（} a \not = 0 , m, n \text{都是正整数，并且} m > n \text{）}$$

任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1

$$\Huge a^0 = 1 (a \not = 0)$$

整式的除法

单项式相除

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式。

计算 $12a^3b^2x^3 \div 3ab^2$ 就是要求一个单项式与 $3ab^2$ 的乘积等于 $12a^3b^2x^3$：

$$\huge \begin{align*} & \because & 4a^2x^3 \sdot 3ab^2 &= 12a^3b^2x^3 \\ & \therefore & 12a^3b^2x^3 \div 3ab^2 &= 4a^2x^3 \end{align*}$$

上面的商式 $4a^2x^3$ 的系数 $4 = 12 \div 3$， $a$ 的指数 $2=3-1$，$b$ 的指数 $0=2-2$， 而 $b^0 = 1$，$x$ 的指数 $3=3-0$。

多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

计算 $(am + bm) \div m$ 就是要求一个多项式与 $m$ 的积是 $am + bm$：

$$\huge \begin{align*} & \because & (a + b)m &= am + bm \\ & \therefore & (am + bm) \div m &= a + b \\ & \text{又} & am \div m + bm \div m &= a + b \\ & \therefore & (am + bm) \div m &= am \div m + bm \div m \end{align*}$$