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14.3 因式分解

根据整式的乘法，可以联想到：

x2+x=x(x+1)x2−1=(x+1)(x−1)\huge \begin{align*} x^2 + x &= x(x + 1) \\ x^2 - 1 &= (x + 1)(x - 1) \end{align*}

上式中把一个多项式化成了几个整式的积的形式， 像这样的式子变形叫做这个多项式的 因式分解（factorization）， 也叫做把这个多项式 分解因式。

可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形：

x2−1⇌整式乘法因式分解(x+1)(x−1)\huge x^2 - 1 \xrightleftharpoons[ \text{整式乘法} ]{ \text{因式分解} } (x + 1)(x -1)

14.3.1 提公因式法​

pa+pb+pc\huge pa + pb + pc

上式的各项都有一个公共的因式 pp，把因式 pp 叫做这个多项式各项的 公因式（common factor）。

p(a+b+c)=pa+pb+pc\huge p(a + b + c) = pa + pb + pc

这样就把 pa+pb+pc=p(a+b+c)pa + pb + pc = p(a + b + c) 分解成两个因式乘积的形式， 其中一个因式是各项的公因式 pp， 另一个因式 a+b+ca + b + c 是 pa+pb+pcpa + pb + pc 除以 pp 所得的商。

用提公因式法分解因式​

2a(b+c)−3(b+c)=(b+c)(2a−3)\Large \begin{align*} & 2a(b + c) - 3(b + c) \\ &= (b + c)(2a - 3) \end{align*}

b+cb+c 是这两个式子的公因式，可以直接提出。

8a3b2+12ab3c=4ab2⋅2a2+4ab2⋅3bc=4ab2(2a2+3bc)\Large \begin{align*} & 8a^3b^2 + 12 ab^3c \\ &= 4ab^2 \sdot 2a^2 + 4ab^2 \sdot 3bc \\ &= 4ab^2(2a^2 + 3bc) \end{align*}
  1. 先找出 8a3b28a^3b^2 与 12ab3c12 ab^3c 的公因式，再提出公因式。
  2. 可以看出这两项的系数 8 与 12，它们的最大公约数是 4。
  3. 两项的字母部分 a3b2a^3b^2 与 ab3cab^3c 都含有字母 aa 和 bb， 其中 aa 的最低次数是 1，bb 的最低次数是 2。
  4. 因此选定 4ab24ab^2 为要提出的公因式。
  5. 提出公因式 4ab24ab^2 后，另一个因式 2a2+3bc2a^2 + 3bc 就不再有公因式了。

14.3.1 公式法​

用平方差公式分解因式​

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的 平方差公式 的等号两边互换位置，就得到：

a2−b2=(a+b)(a−b)\huge a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
4x2−9=(2x)2−32=(2x+3)(2x−3)\large \begin{align*} & 4x^2 - 9 \\ &= (2x)^2 - 3^2 \\ &= (2x + 3)(2x - 3) \end{align*}

在上式中 4x2=(2x)24x^2 = (2x)^2、9=329=3^2、4x2−9=(2x)2−324x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2， 即可用平方差公式分解因式。

(x+p)2−(x+p)2=[(x+p)+(x+p)][(x+p)−(x+p)]=(2x+p+q)(p−q)\large \begin{align*} & (x + p)^2 - (x + p)^2 \\ &= [(x + p) + (x + p)][(x + p) - (x + p)] \\ &= (2x + p + q)(p - q) \end{align*}

在上式中，把 x+px + p 和 x+qx + q 各看成一个整体，设 x+p=mx + p = m、x+q=nx + q = n，则原式化为 m2−n2m^2 - n^2。

x4−y4=(x2+y2)(x2−y2)=(x2+y2)(x+y)(x−y)\large \begin{align*} & x^4 - y^4 \\ &= (x^2 + y^2)(x^2 - y^2) \\ &= (x^2 + y^2)(x + y)(x - y) \end{align*}

在上式中，x4−y4x^4 - y^4 可以写成 (x2)2−(y2)2(x^2)^2 - (y^2)^2 的形式， 这样就可以利用平方差公式进行因式分解了。

a3b−ab=ab(a2−1)=ab(a+1)(a−1)\large \begin{align*} & a^3b - ab \\ &= ab(a^2 - 1) \\ &= ab(a + 1)(a - 1) \end{align*}

在上式中，a3b−aba^3b - ab 有公因式 abab，应该先提出公因式，再进一步分解。

用完全平方公式分解因式​

两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍， 等于这两个数的和（或差）的平方。

把 完全整式乘法的 完全平方公式 的等号两边互换位置，就得到：

a2+2ab+b2=(a+b)2a2−2ab+b2=(a−b)2\huge a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2
16x2+24x+9=(4x)2+2⋅4x⋅3+32=(4x+3)2\large \begin{align*} & 16x^2 + 24x + 9 \\ &= (4x)^2 + 2 \sdot 4x \sdot 3 + 3^2 \\ &= (4x + 3)^2 \end{align*}

在上式中，16x2=(4x)216x^2 = (4x)^2、9=329 = 3^2、24x=2⋅4x⋅324x = 2 \sdot 4x \sdot 3， 所以 16x3+24x+916x^3 + 24x + 9 是一个完全平方式：

16x2+24x+9=(4x)2+2⋅4x⋅3+32↕↕↕↕↕a2+2⋅a⋅b+b2\begin{align*} 16x^2 + 24x + 9 = &(4x)^2 &+ &2 &\sdot &4x &\sdot &3 &+ &3^2 \\ & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow \\ &a^2 &+ &2 &\sdot &a &\sdot &b &+ &b^2 \end{align*}
−x2+4xy−4y2=−(x2−4xy+4y2)=−[x2−2⋅x⋅2y+(2y)2]\large \begin{align*} & -x^2 + 4xy - 4y^2 \\ &= -(x^2 - 4xy + 4y^2) \\ &= -[x^2 -2 \sdot x \sdot 2y + (2y)^2] \end{align*}
3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2\large \begin{align*} & 3ax^2 + 6axy + 3ay^2 \\ &= 3a(x^2 + 2xy + y^2) \\ &= 3a(x + y)^2 \end{align*}

在上式中，有公因式 3a3a，应先提出公因式，再进一步分解；

(a+b)2−12(a+b)+36=(a+b)2−2⋅(a+b)⋅6+62=(a+b−6)2\large \begin{align*} & (a + b)^2 - 12(a + b) + 36 \\ &= (a + b)^2 - 2 \sdot (a + b) \sdot 6 + 6^2 \\ &= (a + b -6)^2 \end{align*}

在上式中，将 a+ba + b 看作一个整体，设 a+b=ma + b = m， 则原式化为完全平方式 m2−12m+36m^2 - 12m + 36