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6.3 等比数列

6.3.1 等比数列的概念​

一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数， 则这个数列叫做 等比数列 ，这个常数叫做等比数列的 公比 .公比通常用字母 qq 表示 例如，数列

1,−12,14,−18,116,−132\Large 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{16}, -\frac{1}{32}

就是一个等比数列，它的公比是 −12\Large -\frac{1}{2}

由此可知，等比数列 {an}\{ a_n \} 的通项公式是

an=a1qn-1\Large a_n = a_1 q^ \text{n-1}

其中， a1\Large a_1 与 q\Large q 均不为 0

一般地，如果 a,G,ba, G, b成等比数列，则 GG 叫做 aa 与 bb 的等比中项.

如果 GG 是 a\Large a 与 b\Large b 的等比中项，那么 Ga\Large \frac{G}{a} = bG\Large \frac{b}{G} ,则

G2=ab,即G=±ab\Large G^2 = ab ,即 G = \pm \sqrt{ab}

容易看出， 一个等比数列从第 2 项起，每一项(有穷等比数列的末项除外) 是它的前一项与后一项的等比数列 .

6.3.2 等比数列的前 nn 项和​

怎样求等比数列

a1,a1q,a1q2,...,a1qn-1,...,\Large a_1, a_1q, a_1q^2, ..., a_1q ^\text{n-1}, ...,

的前 n\Large n 项和 Sn\Large S_n ?\Large ?

很显然，当 q=1\Large q = 1 时，Sn=na1\Large S_n = na_1 .

当 q≠1q\not = 1 时，可推得

Sn=a1(1−qn)1−q\Large S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}