6.2 等差数列

6.2.1 等差数列的概念

一般的，如果一个数列从它的第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则这个数列叫做 等差数列 ， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 $d$ 来表示。

以下数列就是等差数列，它的公差 $d = 2$ ：

$$\Large 1, 3, 5, 7, ..., 2n-1, ...$$

以下数列也是特别的等差数列，它的公差为 $0$ ，这种数列叫做 常数列：

$$\Large 2, 2, 2, 2, ...$$

首项为 $a$ ，公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式可表示为：

$$\Large a_n = a_1 + (n-1) d .$$

一般地，如果 $a, A, b$ 成等差数列，那么 $A$ 叫做 $a$ 与 $b$ 的 等差中项。即：

$$\Large A = \frac{a+b}{2}$$

也就是说，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

6.2.2 等差数列的前 $n$ 项和

等差数列各项的算法： 等差数列各项的和等于首末两项的和乘项数除以2. 一般地，数列 ${a_n}$ 的前几项和记作 $S_n$ ,即

$$\Large S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n .$$

可以得到等差数列前 $n$ 项和公式

$$\Large S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

因为 $a_n = a_1 + (n-1) d $ ,所以上面的公式又可写成

$$\Large S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2} d.$$