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6.1 数列的概念

6.1.1 数列的定义

把 21 世纪所有牛年的年份排成一列,得到:

2009,2021,2033,2045,2057,2069,2081,2093\Large \begin{equation} 2009, 2021, 2033, 2045, 2057, 2069, 2081, 2093 \end{equation}

像 (1) 这样按一定次序排列的一列数,叫做 数列 ,在数列中的每一个数叫做这个数列的 。 各项依次叫做这个数列的第一项(或首项)、第二项……第 nn 项。

4,5,6,7,8,9,10...\Large \begin{equation} 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... \end{equation}

正整数的倒数排成一列

1,12,13,14...\Large \begin{equation} 1, \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{1}{4} ... \end{equation}

2\sqrt{2} 精确到 1, 0.1, 0.01, 0.001, ...的近似值排成一列

1,1.4,1.41,1.414\Large \begin{equation} 1, 1.4, 1.41, 1.414 \end{equation}

-1 的一次幂,2 次幂,3 次幂,4 次幂……排成一列

1,1,1,1,1,...\Large \begin{equation} -1, 1, -1, 1, -1, ... \end{equation}

无穷多个 2 排成一列

2,2,2,2,...\Large \begin{equation} 2, 2, 2, 2,... \end{equation}

这些都是数列。

项数有限的数列叫做 有穷数列 。项数无限的数列叫做 无穷数列 。例如上面的数列 (1)、(2) 是有穷数列,数列 (3)、(4)、(5)、(6) 是无穷数列。

6.1.2 数列的通项

数列从第 1 项开始,按顺序与正整数对应。所以数列的一般形式可以写成

a1,a2,a3,...,an,...\Large a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...

其中 ana_n 是数列的第 nn 项,叫做 数列的通项nn叫做 ana_n 的序号, 并且整个序列可记做 {ana_n} 。

如果 ana_n (nn=1, 2, 3,... )与 nn 之间的关系可用

an=f(n)\Large a_n = f(n)

来表示,那么这个关系式叫做这个数列的 通项公式 ,其中 nn 的所有取值是正整数集的一个子集。 由此可知,数列的通项可以看成以正整数集的一个子集为定义域的函数。

例如,数列 1,12,13,14,...,1n,...\Large 1, \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{1}{4} , ... , \frac{1}{n} , ... 可记作 {1n}\{ \frac{1}{n} \} ,其通项公式为

an=1n,nN+\Large a_n = \frac{1}{n} ,n \in N_+

已知数列 {ana_n} 的第 1 项是 1 ,以后各项由公式

an=1+1an1\Large a_n = 1 + \frac{1}{a_n-1}

上面的数列表达式,表达的是任一项 ana_n 与它的前一项 an1a_n-1 之间的关系(其中 n2n \ge 2 ),这样的关系式叫做数列的 递推公式