6.1 数列的概念

6.1.1 数列的定义

把 21 世纪所有牛年的年份排成一列，得到：

$$\Large \begin{equation} 2009, 2021, 2033, 2045, 2057, 2069, 2081, 2093 \end{equation}$$

像 (1) 这样按一定次序排列的一列数，叫做 数列 ，在数列中的每一个数叫做这个数列的 项 。 各项依次叫做这个数列的第一项(或首项)、第二项……第 $n$ 项。

$$\Large \begin{equation} 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... \end{equation}$$

正整数的倒数排成一列

$$\Large \begin{equation} 1, \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{1}{4} ... \end{equation}$$

$\sqrt{2}$ 精确到 1, 0.1, 0.01, 0.001, ...的近似值排成一列

$$\Large \begin{equation} 1, 1.4, 1.41, 1.414 \end{equation}$$

-1 的一次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂……排成一列

$$\Large \begin{equation} -1, 1, -1, 1, -1, ... \end{equation}$$

无穷多个 2 排成一列

$$\Large \begin{equation} 2, 2, 2, 2,... \end{equation}$$

这些都是数列。

项数有限的数列叫做 有穷数列 。项数无限的数列叫做 无穷数列 。例如上面的数列 (1)、(2) 是有穷数列，数列 (3)、(4)、(5)、(6) 是无穷数列。

6.1.2 数列的通项

数列从第 1 项开始，按顺序与正整数对应。所以数列的一般形式可以写成

$$\Large a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...$$

其中 $a_n$ 是数列的第 $n$ 项,叫做 数列的通项 ，$n$叫做 $a_n$ 的序号， 并且整个序列可记做 {$a_n$} 。

如果 $a_n$ ($n$=1, 2, 3,... )与 $n$ 之间的关系可用

$$\Large a_n = f(n)$$

来表示，那么这个关系式叫做这个数列的 通项公式 ，其中 $n$ 的所有取值是正整数集的一个子集。 由此可知，数列的通项可以看成以正整数集的一个子集为定义域的函数。

例如，数列 $\Large 1, \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{1}{4} , ... , \frac{1}{n} , ...$ 可记作 $\{ \frac{1}{n} \}$ ,其通项公式为

$$\Large a_n = \frac{1}{n} ,n \in N_+$$

已知数列 {$a_n$} 的第 1 项是 1 ，以后各项由公式

$$\Large a_n = 1 + \frac{1}{a_n-1}$$

上面的数列表达式，表达的是任一项 $a_n$ 与它的前一项 $a_n-1$ 之间的关系(其中 $n \ge 2$ )，这样的关系式叫做数列的 递推公式。